Syllogismus

Ein Syllogismus ist ein logischer Schluss, bei dem zwei kategorische Aussagen mit insgesamt drei Begriffen als Prämissen, so verbunden werden, dass daraus eine neue Aussage als Schlussfolgerung abgeleitet werden kann.

Ursprünglich bezeichnete der Begriff (beinahe) jede Form von deduktivem Schluss, heute wird er ausschließlich für Formen benutzt, die auf genau zwei Prämissen mit genau drei Begriffen aufbauen.

Beispiel:

Alle Athener sind Griechen.
Sokrates ist ein Athener.
Daraus folgt: Sokrates ist ein Grieche.

Der erste (obere) Satz wird als „Obersatz“ (Lat.: praemissa major) bezeichnet, der zweite als „Untersatz“ (Lat.: praemissa minor). Beide zusammen bilden die „Prämissen“. Entsprechend kann man diese beiden Sätze auch „erste“ und „zweite Prämisse“ nennen.

Aus den Prämissen ergibt sich der „Schlusssatz“, auch „Konklusion“ (von Lat.: conclusio) genannt; Auch „Ergebnissatz“ oder ganz einfach der „Schluss“ sind gebräuchliche Bezeichner.

Der Begriff in der Schlussfolgerung, der aus dem Obersatz hervorgeholt wird (im Beispiel: „Griechen“), wird als „Oberbegriff“ bezeichnet; der andere, aus dem Untersatz übernommene (hier: „Sokrates“) entsprechend als „Unterbegriff“. Da diese beiden den Schlusssatz bilden, werden sie auch „Schlussbegriffe“ genannt.

Und schließlich bleibt der dritte, die beiden Prämissen verbindende Ausdruck (im Beispiel: „Athener“). Dieser wird als „Mittelbegriff“ bezeichnet.

Als „Stärke“ bezeichnet man die Aussagekraft, die ein Schluss hat. Hierbei gelten solche Schlüsse, die auf einen Allsatz schließen als stärker als solche, die „nur“ einen Existenzsatz als Schluss haben.

Dies ist insbesondere relevant für Formen, bei denen beides möglich ist. Zum Beispiel haben sowohl der Modus Barbara, als auch der Modus Barbari identische Prämissen; Letzterer schließt jedoch „nur“ auf einen Existenzsatz und ist damit der schwächere von den beiden.

Grundsätzlich impliziert eine „starke“ Aussage auch immer die schwächere Form. Wir können daraus, dass eine Aussage wie „alle Athener sind Griechen“ wahr ist, auch ableiten dass „einige Athener sind Griechen“ wahr sein muss. Es gibt allerdings einen Haken bei dieser Form von Ableitung:

Es erscheint unintuitiv, aber ein Allsatz kann genau deswegen wahr sein, weil er sich auf etwas bezieht, das überhaupt nicht existiert. So gilt etwa für die Aussage: „Alle Einhörner sind unsterblich“, dass sie gerade deswegen wahr ist, weil es eben keine Einhörner gibt, die jemals sterben könnten (siehe hierzu auch: Leere Wahrheit).

Darin unterscheiden sich All- von Existenzsätzen. Letztere implizieren – wie schon der Name verrät – dass etwas auch tatsächlich existiert. Formt man also die obige Aussage in einen Existenzsatz um, wie z.B.: „es existieren Einhörner, die unsterblich sind“, dann ist dies ungültig, weil hier eine Existenz vorausgesetzt wurde, die zuerst noch zu beweisen gewesen wäre.

Dieser Unterschied wird immer dann relevant, wenn von einem Allsatz auf einen Existenzsatz geschlossen wird. In diesen Fällen muss als Nebenbedingung stets auch bewiesen werden, dass die Extension eines relevanten Begriffes (die „Begriffsmenge“) nicht leer ist. Mehr hierzu unter: Fehler der leeren Begriffsmenge.

Ein Syllogismus kann nicht wahr oder falsch, sondern nur gültig oder ungültig sein. Bei einer gültigen Form ist sicher gestellt, dass sich aus wahren Aussagen in den Prämissensätzen auch ein wahrer Schlusssatz ergibt.

Ist die Form dagegen ungültig, ist der Wahrheitswert der Schlussaussage unbestimmt. Dies bedeutet, dass auch aus einer ungültigen Form nicht geschlossen werden kann, dass der hieraus gezogene Schluss falsch sei (Argumentum ad Logicam).

In Syllogismen können vier Arten von Grundaussagen (sog. „kategorische Aussagen“) erscheinen, die unterschiedliche Eigenschaften haben:

Aus der Kombination von drei Sätzen mit vier möglichen Aussagetypen in vier Figuren ergeben sich 256 (theoretisch) mögliche Syllogismen. Von diesen sind jedoch die allermeisten (genau 232) ungültig, da sie gegen wenigstens eine der formellen Regeln für gültige Schlüsse verstoßen. Es bleiben somit 24 gültige Formen, die hier im Bereich Schlussformen genauer erklärt werden.

In der klassischen Logik sind für die gültigen Syllogismen leichter zu merkende Kunstnamen üblich. Diese werden nach einer Reihe von Regeln gebildet, die hier vereinfacht wiedergegeben werden:

• Der Anfangsbuchstabe zeigt auf, aus welcher „Syllogismen-Familie“ sie stammen; z.B. sind alle Syllogismen, die mit B beginnen mit der Form Barbara verwandt und lassen sich auf diese zurückführen.
• Jeder Name enthält genau drei Vokale, welche die logischen Formen von Obersatz, Untersatz und Schlussfolgerung (in dieser Reihenfolge) durch die Vokale A, E, I oder O widerspiegeln. Siehe die Tabelle oben für die Typisierung
• Weitere Konsonanten („c“, „m“ „p“ und „s“) geben Hinweise darauf, wie eine Umformung zur Grundform durchgeführt werden muss.

Auf dieser Grundlage erhält man die folgenden 24 Formen, die sich in nach ihren vier Grundformen gruppieren lassen:

• Modus Barbara, mit Varianten: Baroco, Bocardo, Barbari und Bamalip.
• Modus Celarent, mit Varianten: Calemes, Calemos, Camestres, Camestros, Celaront, Cesare und Cesaro.
• Modus Darii, mit Varianten: Dimatis, Datisi, Disamis und Darapti.
• Modus Ferio, mit Varianten: Festino, Ferison, Felapton, Fesapo und Fresison.

Mit dem Syllogismus-Finder Syllogismus-Finder können Sie durch Auswählen von Prämissen und dazu passenden Schlusssätzen schnell die richtige Schlussform finden – oder zumindest die Regeln, wegen derer diese Form nicht möglich ist:

Jeder (gültige) Syllogismus besteht aus genau zwei Prämissen und einem Schluss, die jeweils kategorische Aussageformen darstellen. In diesen drei Aussagen werden genau drei eindeutige Begriffe verwendet. Wenn mehr Begriffe gebraucht werden (meist vier), spricht man von einem sog. „Viersatz“.

Dies geschieht gewöhnlich dadurch, dass ein Begriff in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet wird (Äquivokation) und das wiederum am häufigsten dadurch, dass der Mittelbegriff, der ja die beiden Prämissen verbinden soll, in diesen in unterschiedlichen Bedeutungen auftaucht. Dies ist ein Spezialfall des Viersatzes, der sogenannte „Fehler des mehrdeutigen Mittelbegriffs“.

Der Begriff „Verteilung“ (auch: „Distribution“) beschreibt die Eigenschaft eines Ausdrucks, sich auf das Ganze oder auf einen Teil der Gesamtmenge zu beziehen. Offensichtlich kann man von einer Aussage, die sich auf eine Teilmenge bezieht, keinen Schluss auf oder über die Gesamtmenge ziehen. Mehr hierzu unter Verteilungsfehler.

Der Mittelbegriff muss in mindestens einer der Prämissen an einer verteilten Position erscheinen (z.B. in einer ‚A‘‑Aussage als Subjekt). Ein (Fehl-)Schluss, bei dem dies nicht geschieht, bezeichnet man als „Fehler des unverteilten Mittelbegriffes“.

Ebenso gilt der Grundsatz, dass ein Begriff, der im Schlusssatz verteilt ist, in der jeweiligen Prämisse (im Ober- oder Untersatz) auch an einer verteilten Position stehen muss. Traditionell wird hier zwischen Fehlern im Ober- und Unterbegriff unterschieden, zur Vereinfachung sind diese hier aber als Fehler des unverteilten Schlussbegriffes zusammengefasst.

• Kategorische Aussage
• Schlussformen§Syllogismen:
  • Barbara, Baroco, Bocardo, Barbari, Bamalip
  • Celarent, Calemes, Calemos, Camestres, Camestros, Celaront, Cesare, Cesaro.
  • Darii, Dimatis, Datisi, Disamis, Darapti
  • Ferio, Festino, Ferison, Felapton, Fesapo, Fresison
• Statistischer Syllogismus

• Syllogismus auf Wikipedia
• Kategorisches Urteil auf Wikipedia

• Medieval Theories of the Syllogism auf Stanford Encyclopedia of Philosophy (Englisch)

• Syllogismen und ihre Fehler (PDF) von Jürgen H. Franz