Syllogismus

Ein Syllogismus ist ein logischer Schluss, bei dem zwei Grundaussagen als Prämissen, mit insgesamt drei Begriffen so verbunden werden, dass daraus eine neue Schlussfolgerung abgeleitet werden kann.

Ursprünglich bezeichnete der Begriff (beinahe) jede Form von deduktivem Schluss, heute wird er aus­schließ­lich für Formen benutzt, die auf genau zwei Prä­missen mit genau drei Begriffe auf­bauen.

Beispiel:

Alle Athener sind Griechen.

Sokrates ist ein Athener.

∴ Sokrates ist ein Grieche.

Der erste (obere) Satz wird als „Ober­satz“ (Lat.: praemissa major) bezeichnet, der zweite als „Unter­satz“ (Lat.: praemissa minor). Beide zu­sammen bilden die „Prämissen“. Entsprechend kann man diese beiden Sätze auch „erste“ oder „zweite Prämisse“ nennen.

Aus den Prämissen ergibt sich der „Schluss­satz“, auch „Konklusion“ (von Lat.: conclusio) genannt; auch „Er­geb­nis­satz“ oder ganz einfach der „Schluss“ ist gebräuchlich.

Der Begriff in der Schlussfolgerung, der aus dem Ober­satz hervorgeholt wird (im Beispiel: „Griechen“), wird als „Ober­begriff“ be­zeich­net; der andere, aus dem Unter­satz hervorgeholte (hier: „Sokrates“) entsprechend als „Unter­begriff“. Da diese beiden den Schluss­satz bilden, werden sie auch als die „Schluss­begriffe“ bezeichnet.

Und schließlich bleibt der dritte, die beiden Prämissen verbindende Ausdruck (im Beispiel: „Athener“). Dieser wird als „Mittelbegriff“ bezeichnet.

Als „Stärke“ bezeichnet man die Aussagekraft, die ein Schluss hat. Hierbei gelten solche Schlüsse, die auf einen Allsatz schließen als stärker als solche, die „nur“ auf einen Existenzsatz schließen.

Dies ist insbesondere relevant für Formen, bei denen beides möglich ist. Zum Beispiel haben sowohl Modus Barbara, als auch Modus Barbari identische Prämissen, letzterer schließt jedoch „nur“ auf einen Existenzsatz und ist damit die schwächere Variante des Ersteren.

Ein Syllogismus kann nicht wahr oder falsch, sondern nur gültig oder ungültig sein. Ein gültiger Schluss erhält im Schluss­satz den Wahrheitswert der Prä­missen, das heißt, sind die Prä­missen wahr, ist auch der Schluss­satz wahr, sind die Prämissen falsch, ist es der Schluss ebenfalls.

Bei ungültigen Syllogismen ist der Wahr­heits­wert des Schlusses un­be­stimmt, ebenso wie bei ge­mischten Prä­missen (d.h. einer wahren und einer falschen Prä­misse).

Aber Achtung: auch ein Schluss, der aus einem un­gült­igen Syl­log­is­mus oder auf­grund von falschen Prä­missen ge­zogen wird, kann eine wahre Aus­sage sein (☞ (Argu­mentum) ad Logicam ).

In Syllogismen können vier Arten von Grundaussagen (sog. „kategorische Aussagen“) erscheinen, die unterschiedliche Eigenschaften haben:

Aus der Kombination von drei Sätzen mit vier möglichen Aussagetypen in vier Figuren ergeben sich 256 (theoretisch) mögliche Syllogismen. Von diesen sind jedoch die allermeisten (genau 232) un­gültig, da sie gegen wenigstens eine der formellen Regeln für gültige Schlüsse verstoßen. Es bleiben somit 24 gültige Formen, die hier im Bereich Schluss­formen genauer erklärt werden.

In der klassischen Logik sind für die gültigen Syllogismen leichter zu merkende Kunstnamen üblich. Diese werden nach einer Reihe von Regeln gebildet, die hier vereinfacht wieder­gegeben werden:

• Der Anfangsbuchstabe zeigt auf, aus welcher „Syllo­gis­men-Familie“ sie stammen; z.B. sind alle Syllogismen, die mit B beginnen mit der Form Barbara verwandt und lassen sich auf diese zurückführen.
• Jeder Name enthält genau drei Vokale, welche die logischen Formen von Obersatz, Untersatz und Schlussfolgerung (in dieser Reihenfolge) durch die Vokale A, E, I oder O widerspiegeln. Siehe die Tabelle oben für die Typisierung
• Weitere Konsonanten („c“, „m“ „p“ und „s“) geben Hinweise darauf, wie eine Umformung zur Grundform durchgeführt werden muss.

Auf dieser Grundlage erhält man die folgenden 24 Formen, die sich in nach ihren vier Grundformen gruppieren lassen:

• Modus Barbara, mit Varianten: Baroco, Bocardo, Barbari und Bamalip.
• Modus Celarent, mit Varianten: Calemes, Calemos, Camestres, Camestros, Celaront, Cesare und Cesaro.
• Modus Darii, mit Varianten: Dimatis, Datisi, Disamis und Darapti.
• Modus Ferio, mit Varianten: Festino, Ferison, Felapton, Fesapo und Fresison.

Mit dem Syllogismen-Finder können Sie durch Aus­wählen von Prämissen und dazu passenden Schluss­sätzen schnell die richtige Schluss­form finden – oder zu­mind­est die Regeln, wegen derer diese Form nicht möglich ist:

Hinweis: Dieses Tool gibt es auch als Web-App zur Benutzung auf dem Smartphone: ☞ Syllogismus-Finder.

Jeder (gültige) Syllogismus besteht aus genau zwei Prämissen (der o.g. Typen) und einem Schluss, in denen insgesamt genau drei Begriffe auftauchen. Wenn mehr unterschiedliche Begriffe ver­wendet werden (typi­scher­­weise vier), spricht man von einem sog. „Viersatz“.

Dies geschieht meist dadurch, dass ein Begriff in verschiedenen Bedeutungen verwendet wird (☞ Äqui­voka­tion). Insbesondere, indem der Mittelbegriff, der ja die beiden Prä­missen verbinden soll, in diesen in unter­schied­lichen Bedeutungen auftaucht. Dies ist ein Spezialfall des Viersatzes, den man als „Fehler vom mehrdeutigen Mittelbegriff“ bezeichnet.

Der Begriff „Verteilung“ (auch: „Dis­tri­bution“) beschreibt die Eigenschaft eines Ausdrucks, sich auf das Ganze oder auf einen Teil der Gesamt­menge zu beziehen. Offen­sicht­lich kann man von einer Aussage, die sich auf eine Teilmenge bezieht, keinen Schluss auf oder über die Gesamtmenge ziehen. Mehr hierzu unter ☞ Verteilungsfehler.

Der Mittelbegriff muss in mindestens einer der Prämissen an einer verteilten Posi­tion erscheinen (z.B. in einer ‚A‘‑Aus­sage als Subjekt). Ein (Fehl-)Schluss, bei dem dies nicht geschieht, bezeichnet man als „Fehler des unverteilten Mittel­begriffes“.

Ebenso gilt der Grundsatz, dass ein Begriff, der im Schlusssatz verteilt ist, in der jeweiligen Prämisse (im Ober- oder Untersatz) auch an einer verteilten Position stehen muss. Traditionell wird hier zwischen Fehlern im Ober- und Unter­begriff unterschieden, zur Ver­ein­fach­ung sind diese hier aber als Fehler des unverteilten Schluss­begriffes zu­sammen­gefasst.

Eine wichtige (oft implizite) Vor­aus­setz­ung für die Gültigkeit einiger Syl­log­is­men ist, dass die darin vor­kom­men­den Be­griffe keine leeren Mengen be­schreib­en, also dass die Extensionen der Begriffe nicht leer sind, sondern dass diese sich auf tatsächlich existierende Objekte be­ziehen. Ist dies nicht der Fall, kann es zum Fehler der leeren Begriffsmenge kommen.

• Dictum de omni et nullo
• Enthymem
• Kategorische Aussage

• Syllogismus auf Wikipedia
• Kategorisches Urteil auf Wikipedia

• Medieval Theories of the Syllogism auf Stanford Encyclopedia of Philosophy (Englisch)

• Syllogismen und ihre Fehler (PDF) von Jürgen H. Franz