Syllogismus
Ein Syllogismus ist ein logischer Schluss, bei dem zwei Grundaussagen als Prämissen, mit insgesamt drei Begriffen so verbunden werden, dass daraus eine neue Schlussfolgerung abgeleitet werden kann.
Ursprünglich bezeichnete der Begriff (beinahe) jede Form von deduktivem Schluss, heute wird er ausschließlich für Formen benutzt, die auf genau zwei Prämissen mit genau drei Begriffe aufbauen.
Beispiel:
Alle Athener sind Griechen. Sokrates ist ein Athener. ∴ Sokrates ist ein Grieche.
Terminologie
Der erste (obere) Satz wird als „Obersatz“ (Lat.: praemissa major) bezeichnet, der zweite als „Untersatz“ (Lat.: praemissa minor). Beide zusammen bilden die „Prämissen“. Entsprechend kann man diese beiden Sätze auch „erste“ oder „zweite Prämisse“ nennen.
Aus den Prämissen ergibt sich der „Schlusssatz“, auch „Konklusion“ (von Lat.: conclusio) genannt; auch „Ergebnissatz“ oder ganz einfach der „Schluss“ ist gebräuchlich.
Der Begriff in der Schlussfolgerung, der aus dem Obersatz hervorgeholt wird (im Beispiel: „Griechen“), wird als „Oberbegriff“ bezeichnet; der andere, aus dem Untersatz hervorgeholte (hier: „Sokrates“) entsprechend als „Unterbegriff“. Da diese beiden den Schlusssatz bilden, werden sie auch als die „Schlussbegriffe“ bezeichnet.
Und schließlich bleibt der dritte, die beiden Prämissen verbindende Ausdruck (im Beispiel: „Athener“). Dieser wird als „Mittelbegriff“ bezeichnet.
Stärke von Schlüssen
Als „Stärke“ bezeichnet man die Aussagekraft, die ein Schluss hat. Hierbei gelten solche Schlüsse, die auf einen Allsatz schließen als stärker als solche, die „nur“ auf einen Existenzsatz schließen.
Dies ist insbesondere relevant für Formen, bei denen beides möglich ist. Zum Beispiel haben sowohl Modus Barbara, als auch Modus Barbari identische Prämissen, letzterer schließt jedoch „nur“ auf einen Existenzsatz und ist damit die schwächere Variante des Ersteren.
Wahrheitsgehalt
Ein Syllogismus kann nicht wahr oder falsch, sondern nur gültig oder ungültig sein. Ein gültiger Schluss erhält im Schlusssatz den Wahrheitswert der Prämissen, das heißt, sind die Prämissen wahr, ist auch der Schlusssatz wahr, sind die Prämissen falsch, ist es der Schluss ebenfalls.
Bei ungültigen Syllogismen ist der Wahrheitswert des Schlusses unbestimmt, ebenso wie bei gemischten Prämissen (d.h. einer wahren und einer falschen Prämisse).
Aber Achtung: auch ein Schluss, der aus einem ungültigen Syllogismus oder aufgrund von falschen Prämissen gezogen wird, kann eine wahre Aussage sein (☞ (Argumentum) ad Logicam ).
Typisierung von Aussagen
In Syllogismen können vier Arten von Grundaussagen (sog. „kategorische Aussagen“) erscheinen, die unterschiedliche Eigenschaften haben:
Typ | Quantität | Qualität | Formulierung | Verteilung |
---|---|---|---|---|
A | Allgemein | bejahend | „alle S sind P“ | Nur Subjekt |
E | Allgemein | verneinend | „kein S ist P“ | Beides |
I | Existenz | bejahend | „einige S sind P“ | Keines |
O | Existenz | verneinend | „einige S sind nicht P“ | Nur Prädikat |
Form 1 | Form 2 | Form 3 | Form 4 | |
---|---|---|---|---|
Obersatz | M – O | O – M | M – O | O – M |
Untersatz | U – M | U – M | M – U | M – U |
Schlusssatz | ∴ U – O | ∴ U – O | ∴ U – O | ∴ U – O |
Aus der Kombination von drei Sätzen mit vier möglichen Aussagetypen in vier Figuren ergeben sich 256 (theoretisch) mögliche Syllogismen. Von diesen sind jedoch die allermeisten (genau 232) ungültig, da sie gegen wenigstens eine der formellen Regeln für gültige Schlüsse verstoßen. Es bleiben somit 24 gültige Formen, die hier im Bereich Schlussformen genauer erklärt werden.
Namensgebung
In der klassischen Logik sind für die gültigen Syllogismen leichter zu merkende Kunstnamen üblich. Diese werden nach einer Reihe von Regeln gebildet, die hier vereinfacht wiedergegeben werden:
- Der Anfangsbuchstabe zeigt auf, aus welcher „Syllogismen-Familie“ sie stammen; z.B. sind alle Syllogismen, die mit B beginnen mit der Form Barbara verwandt und lassen sich auf diese zurückführen.
- Jeder Name enthält genau drei Vokale, welche die logischen Formen von Obersatz, Untersatz und Schlussfolgerung (in dieser Reihenfolge) durch die Vokale A, E, I oder O widerspiegeln. Siehe die Tabelle oben für die Typisierung
- Weitere Konsonanten („c“, „m“ „p“ und „s“) geben Hinweise darauf, wie eine Umformung zur Grundform durchgeführt werden muss.
Auf dieser Grundlage erhält man die folgenden 24 Formen, die sich in nach ihren vier Grundformen gruppieren lassen:
Welcher Syllogismus ist das?
Mit dem Syllogismen-Finder können Sie durch Auswählen von Prämissen und dazu passenden Schlusssätzen schnell die richtige Schlussform finden – oder zumindest die Regeln, wegen derer diese Form nicht möglich ist:
Hinweis: Dieses Tool gibt es auch als Web-App zur Benutzung auf dem Smartphone: ☞ Syllogismus-Finder.
Typische Fehlschlüsse
Mehrdeutige Begriffe
Jeder (gültige) Syllogismus besteht aus genau zwei Prämissen (der o.g. Typen) und einem Schluss, in denen insgesamt genau drei Begriffe auftauchen. Wenn mehr unterschiedliche Begriffe verwendet werden (typischerweise vier), spricht man von einem sog. „Viersatz“.
Dies geschieht meist dadurch, dass ein Begriff in verschiedenen Bedeutungen verwendet wird (☞ Äquivokation). Insbesondere, indem der Mittelbegriff, der ja die beiden Prämissen verbinden soll, in diesen in unterschiedlichen Bedeutungen auftaucht. Dies ist ein Spezialfall des Viersatzes, den man als „Fehler vom mehrdeutigen Mittelbegriff“ bezeichnet.
Verteilungsfehler
Der Begriff „Verteilung“ (auch: „Distribution“) beschreibt die Eigenschaft eines Ausdrucks, sich auf das Ganze oder auf einen Teil der Gesamtmenge zu beziehen. Offensichtlich kann man von einer Aussage, die sich auf eine Teilmenge bezieht, keinen Schluss auf oder über die Gesamtmenge ziehen. Mehr hierzu unter ☞ Verteilungsfehler.
Der Mittelbegriff muss in mindestens einer der Prämissen an einer verteilten Position erscheinen (z.B. in einer ‚A‘‑Aussage als Subjekt). Ein (Fehl-)Schluss, bei dem dies nicht geschieht, bezeichnet man als „Fehler des unverteilten Mittelbegriffes“.
Ebenso gilt der Grundsatz, dass ein Begriff, der im Schlusssatz verteilt ist, in der jeweiligen Prämisse (im Ober- oder Untersatz) auch an einer verteilten Position stehen muss. Traditionell wird hier zwischen Fehlern im Ober- und Unterbegriff unterschieden, zur Vereinfachung sind diese hier aber als Fehler des unverteilten Schlussbegriffes zusammengefasst.
Existenzvoraussetzung
Eine wichtige (oft implizite) Voraussetzung für die Gültigkeit einiger Syllogismen ist, dass die darin vorkommenden Begriffe keine leeren Mengen beschreiben, also dass die Extensionen der Begriffe nicht leer sind, sondern dass diese sich auf tatsächlich existierende Objekte beziehen. Ist dies nicht der Fall, kann es zum Fehler der leeren Begriffsmenge kommen.
Siehe auch
Weitere Informationen
- Syllogismus auf Wikipedia
- Kategorisches Urteil auf Wikipedia
- Medieval Theories of the Syllogism auf Stanford Encyclopedia of Philosophy (Englisch)
- Syllogismen und ihre Fehler (PDF) von Jürgen H. Franz