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Existenzsatz

Eine Form von kategorischer Aussage, welche die Existenz eines Elementes in einer Menge mit bestimmten Eigenschaften beschreibt.

Zum Beispiel:

Es existieren Hunde, die genau drei Beine haben.

Ein negativer Existenzsatz sagt aus, dass es Objekte gibt, auf welche die Beschreibung nicht zutrifft.

Zum Beispiel:

Es existieren Hunde, die nicht genau drei Beine haben.

Andere Namen

  • Existenzaussage
  • Partikuläraussage

Beschreibung

Ein positiver Existenzsatz ist eine Aussage, die für wenigstens ein Element einer Gesamtmenge wahr ist.

Einige S sind P.

Oder als Formel dargestellt:

∃ 𝑠 ∈ 𝕊 : P
(es existiert [mindestens] ein s in der Menge 𝕊, für welches P gilt)

Ein negativer Existenzsatz beschreibt den Fall, dass das Merkmal nicht zutrifft:

∃ 𝑠 ∈ 𝕊 : ¬P
(es existiert [mindestens] ein s in der Menge 𝕊, für welches nicht-P gilt)

Hinweis: Dies sollte nicht mit einem negativen Allsatz verwechselt werden, der wie folgt aussieht:

Kein S ist P.
∄ 𝑠 ∈ 𝕊 : P
(Es existiert kein s in der Menge 𝕊, für welches P gilt)

Entsprechend den Beispielen oben, wäre das folgende ein negativer (allerdings falscher) Allsatz:

Es existiert kein Hund, der genau drei Beine hat.

Andere Umschreibungen

Existenzsätze können auf ver­schiedene Arten um­schrieben werden, die aus log­ischer Sicht alle gleich­wertig sind, je­doch je­weils unter­schied­liche As­pekte solcher Aus­sagen in den Vor­der­grund rücken:

  • „Es existieren S, die P [sind].“
  • „Es existiert mindestens ein S, welches P [ist].“
  • „Einige S sind P.“

Dazu gehören auch Sätze, die auf den ersten Blick wie Allsätze aussehen können:

  • „Nicht alle S sind P” = „Einige S sind nicht P.“

Diese unter­schied­lichen Formu­lier­ungen werden hier auf dieser Site je nach Kon­text unter­schieds­los ver­wendet.

Ungeeignete Umschreibungen

Die folgende Umschreibung sollte vermieden werden, da sie mehr­deutig ist und sowohl als Exis­tenz-, als auch als All­satz verstanden werden kann:

Existenzvoraussetzung

Anders als beim All­satz gilt bei Existenz­sätzen die Vor­aus­setz­ung, dass die Begriffs­menge nicht leer sein darf.

Dieser Umstand kann ver­deut­licht werden, indem eine Um­schreib­ung wie: „es exis­tieren S, welche P“ ver­wendet wird. Die Vor­aus­setz­ung besteht aber in jedem Fall, un­ab­hängig von der Um­schreibung.

Im Prinzip gilt, dass sich sowohl bei posi­tiven wie auch bei nega­tiven Exis­tenz­sätzen nur das Sub­jekt auf eine nicht-leere Menge be­ziehen muss. Aller­dings ergibt sich aus der posi­tiven Form („es exis­tieren S, die P sind“), dass auch das Prä­di­kat nicht leer sein kann. Bei nega­tiven Ex­is­tenz­sätzen ist dies nicht der Fall.

In beiden Fällen führt dies dazu, dass bei der Ab­leit­ung von Exis­tenz- aus All­sätzen zu­nächst be­wiesen werden muss, dass es wenigs­tens ein Element der Be­griffs­menge gibt. Solche Neben­be­ding­ungen sind z.B. bei einigen Syl­log­ismen wie dem Modus Bar­bari oder Da­rap­ti nötig.

Verteilung

In positiven Exis­tenz­sätzen sind weder Sub­jekt noch Prä­di­kat ver­teilt, d.h. sie können grund­sätz­lich nicht auf eine Unter­menge der jeweiligen Be­griffs­menge an­gewandt werden.

Bei negativen Exis­tenz­sätzen ist das Prädikat verteilt.

Verifizierung und Falsifizierung

Um einen Existenz­satz zu veri­fi­zieren, ge­nügt es, ein ein­ziges Bei­spiel zu finden, auf welches die Aus­sage zu­trifft.

Um also die Exis­tenz von drei­bein­igen Hunden zu be­weisen, ge­nügt es, einen ein­zigen da­von zu finden. Eben­so ge­nügt es einen ein­zigen nicht-drei­bein­igen zu finden, um den entsprechenden nega­tiven Exis­tenz­satz zu belegen.

Zur Falsi­fi­zier­ung da­gegen müs­ste man, um zu be­legen, dass die Aus­sage nie zu­trifft, im schlimmsten Fall jedes ein­zelne Ele­ment der Be­griffs­menge unter­suchen. Dies kann, je nach Gegen­stand der Aus­sage schwierig bis un­mög­lich sein.

Im besten Fall hat man eine über­schaubare Be­griffs­menge, bei der nur eine be­grenzte Zahl von Ele­menten zu be­trachten ist. Zum Bei­spiel könnte eine Aus­sage wie: „wenigs­tens eines meiner Kinder hat rote Haare“ leicht wider­legt (oder veri­fi­ziert) werden, wenn diese alle be­kannt sind.

Ein Sonderfall hiervon ist die leere Be­griffs­menge, also wenn die Zahl der Ele­mente, auf wel­che sich die Aus­sage be­zieht gleich 0 ist. In diesem Fall kann ein Exis­tenz­satz schon grund­sätz­lich nicht wahr sein.

Bezeichner

Sowohl in der Logik als auch in der Mathematik wird gewöhnlich das Symbol für Existenzaussagen benutzt. Dies wird ausgesprochen als „es existiert …“. Zum Beispiel:

∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² = 25
(es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist gleich 25)

Beim negativen Existenzsatz benutzt man entweder ein ¬ oder ein anderes Symbol, welches Negation oder Ungleichheit ausdrückt, z.B.:

∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² ≠ 11
(es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist nicht gleich 11)

In manchen Kontexten wird auch das Symbol für negative Existenzsätze gebraucht. Hiervon wird hier abgeraten, da dieses Zeichen auch für negative Allsätze benutzt wird.

Siehe auch

Weitere Informationen

Über diese Site

Denkfehler Online ist ein Projekt, die häufigsten Irr­tümer und Trug­schlüsse zu erklären und zu kate­gori­sieren. Auf dieser Seite finden sie einen Hinter­grund­artikel, der ein wichtiges Konzept aus dem Bereich „Logik“, welches zum Ver­­ständnis von anderen Artikel nötig ist, kurz erklärt.
Für mehr In­for­ma­tionen, siehe die Haupt­kategorie Logik.

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