Existenzsatz

Eine Form von kategorischer Aussage, welche die Existenz eines Elementes in einer Menge mit bestimmten Eigenschaften beschreibt.

Zum Beispiel:

Es existieren Hunde, die genau drei Beine haben.

Ein negativer Existenzsatz sagt aus, dass es Objekte gibt, auf welche die Beschreibung nicht zutrifft.

Zum Beispiel:

Es existieren Hunde, die nicht genau drei Beine haben.

• Existenzaussage
• Partikuläraussage

• Existential quantification

Ein positiver Existenzsatz ist eine Aussage, die für wenigstens ein Element einer Gesamtmenge wahr ist.

Einige S sind P.

Oder als Formel dargestellt:

∃ 𝑠 ∈ 𝕊 : P
(es existiert [mindestens] ein s in der Menge 𝕊, für welches P gilt)

Ein negativer Existenzsatz beschreibt den Fall, dass das Merkmal nicht zutrifft:

∃ 𝑠 ∈ 𝕊 : ¬P
(es existiert [mindestens] ein s in der Menge 𝕊, für welches nicht-P gilt)

Existenzsätze können auf verschiedene Arten umschrieben werden, die aus logischer Sicht alle gleichwertig sind, jedoch jeweils unterschiedliche Aspekte solcher Aussagen in den Vordergrund rücken:

• „Es existieren S, die P [sind].“
• „Es existiert mindestens ein S, welches P [ist].“
• „Einige S sind P.“

Dazu gehören auch Sätze, die auf den ersten Blick wie Allsätze aussehen können:

• „Nicht alle S sind P” = „Einige S sind nicht P.“

Diese unterschiedlichen Formulierungen werden hier auf dieser Site je nach Kontext unterschiedslos verwendet.

Die folgende Umschreibung sollte vermieden werden, da sie mehrdeutig ist und sowohl als Existenz-, als auch als Allsatz verstanden werden kann:

• „S sind P“

Anders als beim All­satz gilt bei Existenz­sätzen die Vor­aus­setz­ung, dass die Begriffs­menge nicht leer sein darf.

Dieser Umstand kann ver­deut­licht werden, indem eine Um­schreib­ung wie: „es exis­tieren S, welche P“ ver­wendet wird. Die Vor­aus­setz­ung besteht aber in jedem Fall, un­ab­hängig von der Um­schreibung.

Im Prinzip gilt, dass sich sowohl bei posi­tiven wie auch bei nega­tiven Exis­tenz­sätzen nur das Sub­jekt auf eine nicht-leere Menge be­ziehen muss. Aller­dings ergibt sich aus der posi­tiven Form („es exis­tieren S, die P sind“), dass auch das Prä­di­kat nicht leer sein kann. Bei nega­tiven Ex­is­tenz­sätzen ist dies nicht der Fall.

In beiden Fällen führt dies dazu, dass bei der Ab­leit­ung von Exis­tenz- aus All­sätzen zu­nächst be­wiesen werden muss, dass es wenigs­tens ein Element der Be­griffs­menge gibt. Solche Neben­be­ding­ungen sind z.B. bei einigen Syl­log­ismen wie dem Modus Bar­bari  Modus Barbari in Syllogism-Finder App anzeigen oder Da­rap­ti  Modus Darapti in Syllogism-Finder App anzeigen nötig.

In positiven Exis­tenz­sätzen sind weder Sub­jekt noch Prä­di­kat ver­teilt, d.h. sie können grund­sätz­lich nicht auf eine Unter­menge der jeweiligen Be­griffs­menge an­gewandt werden.

Bei negativen Exis­tenz­sätzen ist das Prädikat verteilt.

Um einen Existenz­satz zu veri­fi­zieren, ge­nügt es, ein ein­ziges Bei­spiel zu finden, auf welches die Aus­sage zu­trifft.

Um also die Exis­tenz von drei­bein­igen Hunden zu be­weisen, ge­nügt es, einen ein­zigen da­von zu finden. Eben­so ge­nügt es einen ein­zigen nicht-drei­bein­igen zu finden, um den entsprechenden nega­tiven Exis­tenz­satz zu belegen.

Zur Falsi­fi­zier­ung da­gegen müs­ste man, um zu be­legen, dass die Aus­sage nie zu­trifft, im schlimmsten Fall jedes ein­zelne Ele­ment der Be­griffs­menge unter­suchen. Dies kann, je nach Gegen­stand der Aus­sage schwierig bis un­mög­lich sein.

Im besten Fall hat man eine über­schaubare Be­griffs­menge, bei der nur eine be­grenzte Zahl von Ele­menten zu be­trachten ist. Zum Bei­spiel könnte eine Aus­sage wie: „wenigs­tens eines meiner Kinder hat rote Haare“ leicht wider­legt (oder veri­fi­ziert) werden, wenn diese alle be­kannt sind.

Ein Sonderfall hiervon ist die leere Be­griffs­menge, also wenn die Zahl der Ele­mente, auf wel­che sich die Aus­sage be­zieht gleich 0 ist. In diesem Fall kann ein Exis­tenz­satz schon grund­sätz­lich nicht wahr sein.

Sowohl in der Logik als auch in der Mathematik wird gewöhnlich das Symbol ∃ für Existenzaussagen benutzt. Dies wird ausgesprochen als „es existiert …“. Zum Beispiel:

∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² = 25
(es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist gleich 25)

Beim negativen Existenzsatz benutzt man entweder ein ¬ oder ein anderes Symbol, welches Negation oder Ungleichheit ausdrückt, z.B.:

∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² ≠ 11
(es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist nicht gleich 11)

In manchen Kontexten wird auch das Symbol ∄ für negative Existenzsätze gebraucht. Hiervon wird hier abgeraten, da dieses Zeichen auch für negative Allsätze benutzt wird.

• Allsatz
• Anekdotenargument
• Kategorische Aussage
• Leere Begriffsmenge

• Existenzaussage auf Wikipedia