Allsatz

Als Allsatz bezeichnet man eine Form von kategorischer Aussage, welche für alle bezeichneten Objekte gültig ist.

Zum Beispiel:

Alle Menschen sind sterblich.

Allsätze können positiv (wie im Beispiel oben) oder negativ formuliert werden. Hier dieselbe Aussage als negativer Allsatz:

Kein Mensch lebt ewig.

• Allaussage
• Universalaussage
• (Universelle) Generalisierung

• Universal quantification

Ein positiver Allsatz ist eine Aussage, die für alle Elemente der Gesamtmenge wahr ist.

Alle S sind P.

Oder als Formel ausgedrückt:

∀ 𝑠 ∈ 𝕊 : P
(Für alle s, die Elemente der der Menge 𝕊 sind, gilt P)

In einem negativen Allsatz wird eine Eigenschaft beschrieben werden, die für keines der Elemente der Gesamtmenge zutrifft:

Kein S ist P.

Als Formel ausgedrückt:

∄ 𝑠 ∈ 𝕊 : P
(Es existiert kein s in der Menge 𝕊, für welches P gilt)

Allsätze können auf verschiedene Weisen umschrieben werden, die aus logischer Sicht alle gleichwertig sind, jedoch jeweils unterschiedliche Aspekte solcher Aussagen in den Vordergrund rücken:

„Für jedes S gilt, dass P.“

Man kann Allsätze auch als Konditionalaussagen formulieren (und umgekehrt). Wie zum Beispiel:

„Wenn etwas S ist, dann ist es auch P.“

Die folgende Umschreibung sollte vermieden werden, da sie mehrdeutig ist und sowohl als All-, als auch als Existenzsatz verstanden werden kann:

• „S sind P“

Allaussagen, bei denen sich der die Antezedenz auf eine leeren Begriffsmenge bezieht, sind prinzipiell immer wahr. Allerdings haben diese dann keine Aussagekraft. Zum Beispiel:

Alle Einhörner (Fabelwesen) sind unsterblich.

Unter der Voraussetzung, dass es keine „Einhorn“ genannten Fabelwesen gibt, ist die Aussage wahr, da es keine Einhörner gibt, die sterben könnten. Es handelt sich hierbei um eine „leere Wahrheit“.

Eine Aussage der Form „alle S sind P“ scheint auf den ersten Blick auch einen Existenzsatz als schwächere Form zu implizieren, nämlich: „es existieren S, welche P (sind)“. Allerdings implizieren Existenzsätze – anders als Allsätze – dass sich zumindest das Subjekt nicht auf eine leere Begriffsmenge bezieht. Um eine solche Umwandlung durchführen zu können, muss daher immer zuerst nachgewiesen werden, dass sich dieses nicht auf eine leere Begriffsmenge bezieht. Dies geschieht durch Einfügen einer Nebenbedingung, wie in dem folgenden Beispiel:

Alle S sind P.
[und es existiert wenigstens ein S]
Dann gilt: Einige S sind P.

Solche Nebenbedingungen findet man z.B. beim Modus Barbari  Modus Barbara in Syllogism-Finder App anzeigen oder Calemos   Modus Calemos in Syllogism-Finder App anzeigen.

Um einen Allsatz zu widerlegen, ist es genug, ein einzelnes Gegenbeispiel zu finden. Dies gilt sowohl für positive als auch für negative Allsätze.

Aufgrund der prinzipiell einfacheren Falsifizierbarkeit ist ein Allsatz also aussagekräftiger als ein Existenzsatz – vorausgesetzt natürlich, er wurde noch nicht falsifiziert.

Zur Verifizierung eines Allsatzes müssen alle Elemente der beschriebenen Menge untersucht werden. Dies ist freilich nur bei relativ kleinen Mengen oder innerhalb von formalen Systemen (z.B. der Mathematik) möglich.

Das Subjekt eines positiven Allsatzes ist verteilt, d.h. es kann durch eine Untermenge der damit beschriebenen Begriffsmengen ersetzt werden. Zum Beispiel:

Alle Katzen sind Säugetiere.

impliziert auch:

• Alle Langhaarkatzen sind Säugetiere.
• Alle Katzen in der Nachbarschaft sind Säugetiere.
• Großmutters Kater ist ein Säugetier.
• u.s.w.

Dagegen ist in solchen Aussagen das Prädikat (hier: „Säugetiere“) nicht verteilt: Eine Aussage wie „alle Katzen sind Delfine“ (worin „Delfine“ eine Unterkategorie des Begriffes „Säugetiere“ ist) kann offensichtlich nicht abgeleitet werden.

In negativen Allsätzen sind sowohl Subjekt als auch Prädikat verteilt:

Keine Katze ist ein Hund.

Impliziert auch:

• Keine Langhaarkatze ist ein Dackel.
• Keine der Katzen in meiner Nachbarschaft ist ein Windhund.
• Großmutters Kater ist kein Blindenhund.
• u.s.w.

Das heißt, sowohl das Subjekt („Katze“), als auch das Prädikat („Hund“) können durch ihre Teilmengen ersetzt werden und die Aussage bleibt dennoch wahr.

Der Grundsatz „Dictum de omni et nullo“ (Lat.: „Aussage über alles und [über] nichts“) besagt, dass eine Aussage in einem (positivem oder negativem) Allsatz für alle Elemente der beschriebenen Begriffsmenge gültig ist.

Offensichtlich sind Aussagen wie „alle Pferde sind Säugetiere“ auch auf jedes einzelne Pferd übertragbar, ebenso wie „kein Mensch ist unsterblich“ ebenso für jeden einzelnen Menschen gültig ist (Verteilung). Allerdings gibt es auch Situationen, in denen diese Übertragung nicht funktioniert.

• Es gibt Eigenschaften von Gruppen, die erst durch die Zusammensetzung der Gruppe oder das Zusammenspiel der Gruppenmitglieder selbst entstehen: zum Beispiel ist eine Aussage wie „alle Pferde dieser Herde sind unterschiedlich gefärbt“ erst sinnvoll, wenn die Herde mehr als ein Pferd umfasst (Emergenzfehler).

• Eigenschaften eines komplexen Systems lassen sich nicht notwendigerweise in den Bestandteilen (erkennbar) wiederfinden (Mereologischer Fehlschluss).

• Hat eine Population eine bestimmte statistische Prävalenz, kann diese Eigenschaft nicht einfach auf Mitglieder dieser Population übertragen werden. Zum Beispiel, auch wenn eine Aussage wie „Bayern mögen Weißwurst“ wahr ist, kann man nicht davon ausgehen, dass jeder spezifische Bayer diese Zubereitung mag (Ökologischer Fehlschluss).

In der Logik oder Mathematik wird gewöhnlich das Symbol ∀ für eine Allaussage benutzt. Dies wird ausgesprochen als „Für alle … gilt”. Zum Beispiel:

∀ 𝑛 ∈ ℕ: 2·𝑛 = 𝑛 + 𝑛
(für alle Elemente 𝑛 der Menge der natürlichem Zahlen gilt: 2·𝑛 ist gleich 𝑛 + 𝑛)

Für negative Allsätze benutzt man stattdessen das Existenzsymbol, entweder in der durchgestrichenen Variante (∄) oder mit einem Negationszeichen (¬∃). In beiden Fällen spricht man es aus als: „es existiert kein…“.

∄ 𝑛 ∈ ℕ: 2·𝑛 < 𝑛
(es existiert kein Element 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für das gilt: 2·𝑛 ist kleiner als 𝑛)

• Anekdotenargument
• Existenzsatz
• Kategorische Aussage
• Syllogismus
• Verteilung

• Allaussage auf Wikipedia