Allsatz

Als Allsatz bezeichnet man eine Form von kategorischer Aussage, welche für alle bezeichneten Objekte gültig ist.

Zum Beispiel:

Alle Menschen sind sterblich.

Allsätze können positiv (wie im Beispiel oben) oder negativ formuliert werden. Hier dieselbe Aussage als negativer Allsatz:

Kein Mensch lebt ewig.

• Allaussage
• Universalaussage
• (Universelle) Generalisierung

• Universal quantification

Ein positiver Allsatz ist eine Aussage, die für alle Elemente der Gesamtmenge wahr ist.

Alle S sind P.

Oder als Formel ausgedrückt:

∀ 𝑠 ∈ 𝕊 : P
(Für alle s, die Elemente der der Menge 𝕊 sind, gilt P)

In einem negativen Allsatz wird eine Eigenschaft beschrieben werden, die für keines der Elemente der Gesamtmenge zutrifft:

Kein S ist P.

Als Formel ausgedrückt:

∄ 𝑠 ∈ 𝕊 : P
(Es existiert kein s in der Menge 𝕊, für welches P gilt)

All­sätze können auf ver­schiedene Weisen um­schrieben werden, die aus log­ischer Sicht alle gleich­wertig sind, je­doch je­weils unter­schied­liche As­pekte sol­cher Aus­sagen in den Vor­der­grund rücken:

„Für jedes S gilt, dass P.“

Man kann Allsätze auch als Konditional­aussagen formulieren (und umgekehrt). Wie zum Beispiel:

„Wenn etwas als S beschrieben werden kann, dann gilt dafür auch P.“

Die folgende Umschreibung sollte vermieden werden, da sie mehrdeutig ist und sowohl als All-, als auch als Existenz­satz verstanden werden kann:

• „S sind P“

Allaussagen, bei denen sich der die Antezedenz auf eine leeren Begriffsmenge bezieht, sind prinzipiell immer wahr. Allerdings haben diese dann keine Aussagekraft. Zum Beispiel:

Alle Einhörner (Fabelwesen) sind unsterblich.

Unter der Voraussetzung, dass es keine „Einhorn“ genannten Fabelwesen gibt, ist die Aussage wahr, da es keine Einhörner gibt, die sterben könnten. Es handelt sich hierbei um eine „leere Wahrheit“.

Eine Aussage der Form „alle S sind P“ scheint auf den ersten Blick auch einen Existenz­satz als schwächere Form zu im­pli­zieren, nämlich: „es existieren S, welche P (sind)“. Allerdings implizieren Existenz­sätze – anders als All­sätze – dass sich zu­mindest das Subjekt nicht auf eine leere Begriffsmenge be­zieht. Um eine solche Um­wandl­ung durchführen zu können, muss daher immer zuerst nach­gewiesen werden, dass sich dieses nicht auf eine leere Begriffs­menge bezieht. Dies geschieht durch Ein­fügen einer Neben­beding­ung, wie in dem folg­enden Beispiel:

Alle S sind P.
[und es existiert wenigstens ein S]
Dann gilt: Einige S sind P.

Solche Neben­beding­ungen findet man z.B. beim Modus Barbari  Modus Barbara in Syllogism-Finder App anzeigen oder Calemos   Modus Calemos in Syllogism-Finder App anzeigen.

Um einen Allsatz zu widerlegen, ist es genug, ein einzelnes Gegenbeispiel zu finden. Dies gilt sowohl für positive als auch für negative Allsätze.

Aufgrund der prinzipiell einfacheren Falsifizierbarkeit ist ein Allsatz also aussagekräftiger als ein Existenzsatz – vorausgesetzt natürlich, er wurde noch nicht falsifiziert.

Zur Verifizierung eines Allsatzes müssen alle Elemente der beschriebenen Menge untersucht werden. Dies ist freilich nur bei relativ kleinen Mengen oder innerhalb von formalen Systemen (z.B. der Mathematik) möglich.

Das Subjekt eines positiven Allsatzes ist verteilt, d.h. es kann durch eine Untermenge der damit beschriebenen Begriffsmengen ersetzt werden. Zum Beispiel:

Alle Katzen sind Säugetiere.

impliziert auch:

• Alle Langhaarkatzen sind Säugetiere.
• Alle Katzen in der Nachbarschaft sind Säugetiere.
• Großmutters Kater ist ein Säugetier.
• u.s.w.

Dagegen ist in solchen Aussagen das Prädikat (hier: „Säugetiere“) nicht verteilt: Eine Aussage wie „alle Katzen sind Delfine“ (worin „Delfine“ eine Unterkategorie des Begriffes „Säugetiere“ ist) kann offensichtlich nicht abgeleitet werden.

In negativen Allsätzen sind sowohl Subjekt als auch Prädikat verteilt:

Keine Katze ist ein Hund.

Impliziert auch:

• Keine Langhaarkatze ist ein Dackel.
• Keine der Katzen in meiner Nachbarschaft ist ein Windhund.
• Großmutters Kater ist kein Blindenhund.
• u.s.w.

Das heißt, sowohl das Subjekt („Katze“), als auch das Prädikat („Hund“) können durch ihre Teilmengen ersetzt werden und die Aussage bleibt dennoch wahr.

Der Grundsatz „Dictum de omni et nullo“ (Lat.: „Aussage über alles und [über] nichts“) besagt, dass eine Aussage in einem (positivem oder negativem) Allsatz für alle Elemente der beschriebenen Begriffsmenge gültig ist.

Offensichtlich sind Aussagen wie „alle Pferde sind Säugetiere“ auch auf jedes einzelne Pferd über­tragbar, ebenso wie „kein Mensch ist unsterblich“ ebenso für jeden einzelnen Menschen gültig ist (Verteilung). Allerdings gibt es auch Situationen, in denen diese Übertragung nicht funktioniert.

• Es gibt Eigen­schaften von Gruppen, die erst durch die Zusammen­setzung der Gruppe oder das Zusammen­spiel der Gruppenmitglieder selbst entstehen: zum Beispiel ist eine Aus­sage wie „alle Pferde dieser Herde sind unter­schiedlich gefärbt“ erst sinnvoll, wenn die Herde mehr als ein Pferd umfasst (Emergenz­fehler).

• Eigenschaften eines komplexen Systems lassen sich nicht notwendigerweise in den Be­stand­teilen (erkennbar) wiederfinden (Mereologischer Fehlschluss).

• Hat eine Population eine bestimmte statistische Prävalenz, kann diese Eigenschaft nicht einfach auf Mitglieder dieser Population übertragen werden. Zum Beispiel, auch wenn eine Aussage wie „Bayern mögen Weißwurst“ wahr ist, kann man nicht davon ausgehen, dass jeder spezifische Bayer diese Zubereitung mag (Ökologischer Fehlschluss).

In der Logik oder Mathematik wird gewöhnlich das Symbol ∀ für eine Allaussage benutzt. Dies wird ausgesprochen als „Für alle … gilt”. Zum Beispiel:

∀ 𝑛 ∈ ℕ: 2·𝑛 = 𝑛 + 𝑛
(für alle Elemente 𝑛 der Menge der natürlichem Zahlen gilt: 2·𝑛 ist gleich 𝑛 + 𝑛)

Für negative Allsätze benutzt man stattdessen das Existenzsymbol, entweder in der durchgestrichenen Variante (∄) oder mit einem Negationszeichen (¬∃). In beiden Fällen spricht man es aus als: „es existiert kein…“.

∄ 𝑛 ∈ ℕ: 2·𝑛 < 𝑛
(es existiert kein Element 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für das gilt: 2·𝑛 ist kleiner als 𝑛)

• Anekdotenargument
• Existenzsatz
• Kategorische Aussage
• Syllogismus
• Verteilung

• Allaussage auf Wikipedia