Leermenge (Mathematik)
Bezeichnet eine (mathematische) Menge, welche genau 0 Elemente enthält.
Zum Beispiel:
Die Menge aller Einhörner (Fabeltiere) ist eine leere Menge.
Beschreibung
Als „Leermenge“ oder auch „leere Menge“ bezeichnet man in der Mathematik eine Menge, die keine Elemente enthält.
Neben zahlreichen Anwendungen in der Mathematik ist die Leermenge als Begriffsmenge in der Logik wichtig. Insbesondere aufgrund der Eigenschaft, dass Allaussagen über die Leermenge immer (notwendig) wahr sind.
Eigenschaften
Leersumme
Die Mengensumme der Leermenge ist definiert als 0, also dem neutralen Wert der Addition.
Leerprodukt
Das Mengenprodukt der Leermenge ist definiert als 1, also dem neutralen Wert der Multiplikation.
Allaussagen
Jede Allaussage über die Elemente der Leermenge ist immer (notwendig) wahr (tautologisch). Dies gilt ganz einfach, weil es keine Fälle geben kann, bei denen sie falsch sein könnte. Es handelt sich hierbei um eine „leere Wahrheit“.
Existenzaussagen
Jeder Existenzsatz, der sich auf eine Leermenge bezieht ist (notwendig) falsch (kontradiktorisch). Dies gilt unabhängig von der Formulierung einer solchen Aussage und ergibt sich alleine schon aus der Existenzvoraussetzung dieser Aussagenform.
Aus diesem Grund muss beim Schluss von einem All- auf einen Existenzsatz stets zuerst ausgeschlossen werden, dass dieser sich nicht auf eine Leermenge bezieht (Fehler der leeren Begriffsmenge).
Weitere Eigenschaften
Für weitere Eigenschaften der Leermenge, siehe den Wikipedia-Artikel: Leere Menge.
Symbole
Die gebräuchlichsten Symbole für eine Leermenge sind entweder das Leermengenzeichen ∅ (U+2205) oder ein Paar leerer Mengenklammern {}. Seltener sieht man auch Ø, 𝛷 oder ⦰. Vom Gebrauch von 0, ε oder Λ wird abgeraten, da diese auch andere Bedeutungen haben, was zu Misverständnissen führen kann.
Siehe auch
Weitere Informationen
- Leere Menge auf Wikipedia