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Leermenge (Mathematik)

Bezeichnet eine (mathematische) Menge, welche genau 0 Elemente enthält.

Zum Beispiel:

Die Menge aller Einhörner (Fabeltiere) ist eine leere Menge.

Beschreibung

Als „Leer­menge“ oder auch „leere Menge“ be­zeich­net man in der Mathe­matik eine Menge, die keine Ele­mente enthält.

Neben zahlreichen Anwendungen in der Mathematik ist die Leermenge als Begriffsmenge in der Logik wichtig. Insbesondere aufgrund der Eigenschaft, dass Allaussagen über die Leer­menge immer (notwendig) wahr sind.

Eigenschaften

Leersumme

Die Mengen­summe der Leer­menge ist definiert als 0, also dem neutralen Wert der Addition.

Leerprodukt

Das Mengen­produkt der Leer­menge ist definiert als 1, also dem neutralen Wert der Multiplikation.

Allaussagen

Jede Allaussage über die Elemente der Leermenge ist immer (notwendig) wahr (tautolotisch). Dies gilt ganz einfach, weil es keine Fälle geben kann, bei denen sie falsch sein könnte. Es handelt sich hierbei um eine „leere Wahrheit“.

Existenzaussagen

Jeder Existenzsatz, der sich auf eine Leermenge bezieht ist (notwendig) falsch (kontradiktorisch). Dies gilt unabhängig von der Formulierung einer solchen Aussage und ergibt sich aus der Existenzvoraussetzung dieses Aussagen­typus.

Aus diesem Grund muss beim Schluss von einem All- auf einen Existenzsatz stets zuerst ausgeschlossen werden, dass dieser sich nicht auf eine Leermenge bezieht ( Fehler der leeren Begriffsmenge).

Weitere Eigenschaften

Für weitere Eigenschaften der Leermenge, siehe den Wikipedia-Artikel: Leere Menge.

Symbole

Die gebräuchlichsten Symbole für eine Leermenge sind entweder das Leermengenzeichen (U+2205) oder ein Paar leerer Mengenklammern {}. Seltener sieht man auch Ø, 𝛷 oder . Vom Gebrauch von 0, ε oder Λ wird abgeraten, da diese auch andere Bedeutungen haben, was zu Misverständnissen führen kann.

Siehe auch

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