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Leermenge (Mathematik)

Bezeichnet eine (mathematische) Menge, welche genau 0 Elemente enthält.

Zum Beispiel:

Die Menge aller Einhörner (Fabeltiere) ist eine leere Menge.

Beschreibung

Als „Leer­menge“ oder auch „leere Menge“ be­zeich­net man in der Mathe­matik eine Menge, die keine Ele­mente enthält.

Neben zahlreichen Anwendungen in der Mathematik ist die Leermenge als Begriffsmenge in der Logik wichtig. Insbesondere aufgrund der Eigenschaft, dass Allaussagen über die Leer­menge immer (notwendig) wahr sind.

Eigenschaften

Leersumme

Die Mengen­summe der Leer­menge ist de­fi­niert als 0, also dem neu­tralen Wert der Addi­tion.

Leerprodukt

Das Mengen­produkt der Leer­menge ist de­fi­niert als 1, also dem neu­tralen Wert der Mul­ti­pli­kation.

Allaussagen

Jede All­aussage über die Ele­mente der Leer­menge ist immer (not­wendig) wahr (tau­to­log­isch). Dies gilt ganz ein­fach, weil es keine Fälle geben kann, bei denen sie falsch sein könnte. Es handelt sich hierbei um eine „leere Wahr­heit“.

Existenzaussagen

Jeder Existenzs­atz, der sich auf eine Leer­menge be­zieht ist (not­wendig) falsch (kon­tra­dik­tor­isch). Dies gilt un­ab­hängig von der For­mu­lier­ung einer solchen Aus­sage und er­gibt sich alleine schon aus der Ex­is­tenz­vor­aus­setz­ung dieser Aus­sagen­form.

Aus diesem Grund muss beim Schluss von einem All- auf einen Ex­is­tenzs­atz stets zuerst aus­ge­schlossen werden, dass dieser sich nicht auf eine Leer­menge bezieht (Feh­ler der leeren Be­griffs­menge).

Weitere Eigenschaften

Für weitere Eigen­schaften der Leer­menge, siehe den Wiki­pedia-Artikel: Leere Menge.

Symbole

Die gebräuchlichsten Symbole für eine Leermenge sind entweder das Leermengenzeichen (U+2205) oder ein Paar leerer Mengenklammern {}. Seltener sieht man auch Ø, 𝛷 oder . Vom Gebrauch von 0, ε oder Λ wird abgeraten, da diese auch andere Bedeutungen haben, was zu Misverständnissen führen kann.

Siehe auch

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