Verteilung (Logik)

Beschreibt die Eigenschaft eines Begriffes in einer logischen Aussage, sich auch auf einen beliebigen Teil der Aussagemenge beziehen zu können.

Das Konzept der „Verteilung“ lässt sich ver­mut­lich am besten an­hand des fol­gen­den Bei­spieles erklären:

Alle Katzen sind Säugetiere.

Wenn man diese Aussage iso­liert be­trach­tet – also ohne wei­teres (externes) Wissen über Katzen und Säuge­tiere in Be­tracht zu ziehen – er­fahr­en wir sehr viel mehr über Katzen, als über Säuge­tiere: So können wir alleine aus dieser Aus­sage schließen, dass zum Bei­spiel auch alle Lang­haar­katzen Säuge­tiere sind, eben­so wie alle Siam­katzen, Katzen in unserem Stadt­viertel – ebenso wie auch Groß­mutters Kater. Dies gilt, eben weil alle Katzen Säuge­tiere sind.

Dieses Prinzip, dass sich eine Allaussage auf jede Teilmenge der Aussagemenge übertragen lässt, ist unter dem lateinischen Namen „dictum de omni et nullo“ bekannt.

Dagegen erfahren wir über Säuge­tiere nur, dass einige davon Katzen sind (und selbst hier­für müsste man zu­nächst einen mög­lichen Fehler der leeren Be­griffs­menge aus­schließen). Alleine aus dieser Aus­sage lässt sich aber nichts über andere Teil­men­gen der Säuge­tiere schließen, etwa über Nage­tiere oder Beutel­säuger.

Anders gesagt: zwar können wir ab­leiten: “Groß­mutters Kater ist ein Säuge­tier“, aber nicht: „Alle Katzen sind Beutel­säuger“.

Diese Eigen­schaft von Begriffen, sich auch auf alle Unter­gruppen und Objekte der Aus­sage­menge zu be­ziehen, be­zeich­net man als „Ver­teilung“ (auch: „Dis­tri­bu­tion“) eines Be­griffes. In dem Bei­spiel ist also „Katzen“ ver­teilt, während „Säu­ge­tiere“ nicht ver­teilt ist. Die für die ver­schie­denen kate­gor­ischen Aus­sage­formen gültigen Ver­teil­ungs­regeln lassen sich aus der fol­gen­den Tabelle ablesen:

Hieraus ergeben sich eine ganze Reihe von mög­lichen Fehlern (⁠Ver­teil­ungs­fehler), die auch schon seit der Antike, spe­zif­isch für Syl­log­ismen be­schrieben wurden.

Diese Fehler sind grund­sätzlich auch für andere Formen von Schluss­folger­ungen rele­vant, aber sie lassen sich wohl am ein­fachsten anhand von Syl­log­is­men er­klären:

Die offensichtliche Erkenntnis hier ist, dass man aus einer Aussage, die sich auf nur einen Teil der Begriffsmenge bezieht (die also unverteilt ist), kein Schluss ziehen lässt der sich auf die gesamte Begriffsmenge bezieht (ein verteilter Schluss).

Zur Erklärung bieten sich Syllogsmen an, eine einfache logische Form, bei der zwei sogenannte „kate­gor­ische Aus­sagen“ (siehe Tabelle oben) zu einer dritten, neuen Aussage verknüpft werden.

Offensichtlich stimmt etwas nicht mit dem folgenden Syllogismus:

Alle Katzen sind Säuge­tiere.
Alle Säuge­tiere sind Lebe­wesen.
Daraus folgt: Alle Lebewesen sind Katzen.

Obwohl die beiden Prä­missen zwei­fel­los wahr sind, ist der daraus ge­zo­gene Schluss eben­so zwei­fel­los falsch. Was ist hier schief ge­gangen?

Der Begriff „Lebe­wesen“ wird in der zwei­ten Prä­misse (dem „Unter­satz“) ein­geführt und steht dort in einer un­ver­teilten Po­si­tion, d.h. er be­zieht sich hier nicht auf alle Lebe­wesen, sondern nur auf einen Teil da­von (nämlich den der Säuge­tiere).

Im Schlussatz dagegen steht dieser Be­griff an einer ver­teilten Stelle, be­zieht sich da­mit also auf alle Lebe­wesen. Es wird folg­lich ver­sucht, von einer Aus­sage über einen Teil aller Lebe­wesen, auf eine Aus­sage über alle Lebe­wesen zu schließen.

In diesem Bei­spiel geht dies offen­sicht­lich schief. In an­deren Fällen kann das bei weitem nicht so leicht er­kenn­bar sein. Dies gilt ins­be­son­dere, wenn es um eher ab­strakte Be­griffe geht, oder solche, bei denen die Begriff­smenge (⁠Extension) nicht so leicht er­kenn­bar ist.

Für Schlussbegriffe – also die Begriffe in einem Syllogismus, die auch im Schluss­satz vorkommen (auch Ober- und Unter­begriff genannt) gilt die folgende Regel:

Ein Begriff, der im Schluss­satz verteilt ist, muss auch schon in der Prämisse verteilt sein.

Ähnlich beim folgenden Schluss:

Einige Tiere sind Katzen.
Alle Hunde sind Tiere.
Daraus folgt: Alle Hunde sind Katzen.

In diesem Bei­spiel ist der Be­griff „Tiere“ der so­ge­nannte „Mittel­be­griff“, der die beiden Prä­mis­sen mit­ein­ander ver­knüp­fen soll. Aller­dings ist er in beiden Prä­mis­sen in einer un­ver­teilten Po­si­tion, d.h. dass er sich je­weils nur auf Teil­mengen der Be­griffs­menge (hier: „Tiere“) be­zieht (näm­lich die der Katzen bzw. Hunde).

Wie das Beispiel auch zeigt, ist es so möglich, dass sich dieser Be­griff nicht auf die­selbe Menge be­zieht und damit die beiden Prä­missen nicht ver­binden kann. Damit ein solcher Schluss möglich ist, muss der Be­griff in zu­min­dest einer der beiden Aus­sagen an einer ver­teilten Po­si­tion stehen.

Um Aussagen mit­einander zu ver­knüpfen, muss der Begriff, durch den sie verbunden werden, mind­est­ens in einer der Aus­sagen ver­teilt sein.