Tautologie (Logik)
In der Logik bezeichnet man als Tautologie eine Aussage, die notwendig wahr ist.
Das folgende Beispiel ist direkt aus einer bekannten Bauernregel entnommen:
⊤
: Entweder ändert sich das Wetter, oder es bleibt wie es ist.
Da es keinen dritten Zustand neben „sich ändern“ und „sich nicht ändern“ geben kann, ist die obige Aussage notwendig wahr, d.h. es ist keine Situation vorstellbar, in der die Aussage falsch sein könnte.
Beschreibung
Jede Aussage, die unabhängig von äußeren Umständen immer wahr ist, wird als Tautologie bezeichnet.
Die folgenden logischen Formeln sind solche Tautologien, da sie niemals falsch sein können:
⊤
: (A oder nicht A)
⊤
: (wenn A dann A)
Dasselbe gilt für alle (korrekten) mathematischen Gleichungen oder auch Ungleichungen, etwa:
⊤
:
⊤
:
⊤
:
In allen diesen Fällen ist die Aussage zwangsläufig wahr.
Tautologien können auch in Definitionen versteckt sein, z.B. ist die folgende Aussage tautologisch:
⊤
: Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie durch 2 teilbar.
Da die Teilbarkeit durch 2 eine mögliche Definition von geraden Zahlen darstellt und damit Antezedenz und Konsequenz Synonyme sind.
Analytische Aussagen
In einem etwas breiteren Verständnis des Begriffes kann man darüber hinaus alle analytischen Aussagen zu den Tautologien zählen. Dies sind Aussagen, welche einen Begriff durch Eigenschaften beschreiben, welche bereits in der Begriffsdefinition enthalten sind.
Zum Beispiel:
⊤
: Alle Tulpen sind Blumen.
Zwar sind „Blume“ und „Tulpe“ keine Synonyme, aber zumindest solange sich der Begriff auf die Pflanze bezieht, ist die Eigenschaft, eine Blume zu sein ein untrennbarer Aspekt der Begriffsdefinition. D.h. die Aussage kann unter keinen Umständen falsch sein.
Gegenteil
Das Gegenteil einer Tautologie ist eine Kontradiktion (auch Widerspruch oder Antilogie genannt). Dabei handelt es sich um eine Aussage, die notwendig falsch ist.
Abgrenzung
Keine Tautologien sind Aussagen, die nur aufgrund von Erfahrungen als immer wahr bekannt sind. Zum Beispiel:
Die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum beträgt 299 792 458 m⁄s.
Da es sich bei der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum um eine Naturkonstante handelt, ist die Aussage aufgrund von physikalischen Gesetzen immer wahr. Dies lässt sich jedoch nicht aus den Gesetzen der Logik herleiten.
Die Abgrenzung von solchen Erfahrungsaussagen zu den oben genannten „analytischen Aussagen“ kann aber in vielen Fällen schwierig bis unmöglich sein.
Bedeutung
Tautologische Aussagen sind prinzipiell nicht als Prämissen für irgendeine Schlussform erlaubt. Auch im Schlusssatz kann man aus einer dort auftretenden Tautologie nur herauslesen, dass es irgendwo einen Fehler geben muss (was dann aber genau zum Beweis der Ungültigkeit einer Aussage herangezogen werden kann).
Andere Bedeutungen
Der Begriff „Tautologie“ wird in den Sprachwissenschaften in einer anderen Bedeutung verwendet. Siehe hierzu: Tautologie (Sprache).
Symbole
Auf dieser Site wird das logische Symbol ⊤
für Tautologien verwendet. Da jede Tautologie inhärent immer wahr ist, kann sie auch durch den Ausdruck „wahr
“ bzw. den äquivalenten Ausdruck im jeweiligen Formalsystem (z.B. 1
in der booleschen Logik) ersetzt oder beschrieben werden.
Da das Symbol ⊤
dem Buchstaben „T“ ähnelt, wird es meist einfach als „Tautologie“ ausgesprochen. Manchmal wird auch der Begriff „verum“ (Lat.: „wahr“) dafür benutzt.
Seltener sieht man das ⊨
Symbol in derselben Bedeutung. Von der Verwendung ist aber abzuraten, da dieses Symbol auch mit der Bedeutung „Implikation“ (☞ Subjunktion) verwendet wird.
Siehe auch
Weitere Informationen
- Tautologie auf Wikipedia
- Tautologie auf Mathe für Nicht-Freaks