Tautologie (Logik)

In der Logik bezeichnet man als Tautologie eine Aussage, die notwendig wahr ist.

Das folgende Beispiel ist direkt aus einer bekannten Bauernregel entnommen:

⊤: Entweder ändert sich das Wetter, oder es bleibt wie es ist.

Da es keinen dritten Zustand neben „sich ändern“ und „sich nicht ändern“ geben kann, ist die obige Aussage notwendig wahr, d.h. es ist keine Situation vorstellbar, in der die Aussage falsch sein könnte.

Jede Aussage, die un­ab­hängig von äuß­eren Um­ständen immer wahr ist, wird als Tau­to­logie be­zeichnet.

Die folg­enden log­ischen Formeln sind solche Tau­to­log­ien, da sie nie­mals falsch sein können:

⊤: A ∨ ⌐A   (A oder nicht A)
⊤: A ⟶ A   (wenn A dann A)

Dasselbe gilt für alle (kor­rekten) mathe­mat­ischen Gleich­ungen oder auch Un­gleich­ungen, etwa:

⊤: 2 + 3 = 5
⊤: x² ≥ 0
⊤: ¹⁄_x ≠ 0

In allen diesen Fällen ist die Aussage zwangs­läufig wahr.

Tautologien können auch in De­fi­ni­tionen ver­steckt sein, z.B. ist die folg­ende Aus­sage tau­to­logisch:

⊤: Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie durch 2 teilbar.

Da die Teil­bar­keit durch 2 eine mög­liche De­fi­ni­tion von ge­raden Zahlen dar­stellt und damit Ante­ze­denz und Kon­se­quenz Syno­nyme sind.

In einem etwas breit­eren Ver­ständ­nis des Be­grif­fes kann man da­rüber hin­aus alle ana­lyt­ischen Aus­sagen zu den Tau­to­log­ien zählen. Dies sind Aus­sagen, welche einen Be­griff durch Eigen­schaften be­schreiben, wel­che be­reits in der Begriffs­defi­ni­tion ent­halten sind.

Zum Beispiel:

• ⊤: Alle Tulpen sind Blumen.

Zwar sind „Blume“ und „Tulpe“ keine Synonyme, aber zu­mindest so­lange sich der Be­griff auf die Pflanze be­zieht, ist die Eigen­schaft, eine Blume zu sein ein un­trenn­barer Aspekt der Be­griffs­de­fi­ni­tion. D.h. die Aus­sage kann unter keinen Um­ständen falsch sein.

Das Gegenteil einer Tautologie ist eine Kontradiktion (auch Widerspruch oder Antilogie genannt). Dabei handelt es sich um eine Aussage, die notwendig falsch ist.

Keine Tau­to­log­ien sind Aus­sagen, die nur auf­grund von Er­fahr­ungen als immer wahr be­kannt sind. Zum Beispiel:

Die Geschwindig­keit des Lichtes im Vaku­um be­trägt 299 792 458 ^m⁄_s.

Da es sich bei der Licht­geschwindig­keit im Vaku­um um eine Natur­kons­tante hand­elt, ist die Aus­sage auf­grund von physi­kal­ischen Ge­setzen immer wahr. Dies lässt sich je­doch nicht aus den Ge­setzen der Logik her­leiten.

Die Ab­grenz­ung von solchen Er­fahr­ungs­aus­sagen zu den oben ge­nannten „ana­lyt­ischen Aus­sagen“ kann aber in vielen Fällen schwierig bis un­möglich sein.

Tautologische Aussagen sind prinzipiell nicht als Prämissen für irgendeine Schluss­form erlaubt. Auch im Schluss­satz kann man aus einer dort auf­treten­den Tautologie nur herauslesen, dass es irgendwo einen Fehler geben muss (was dann aber genau zum Beweis der Un­gültig­keit einer Aus­sage her­an­ge­zogen werden kann).

Der Begriff „Tau­to­logie“ wird in den Sprach­wissen­schaften in einer and­eren Be­deut­ung ver­wendet. Siehe hier­zu: Tau­to­logie (Sprache).

Auf dieser Site wird das logische Symbol ⊤ für Tautologien verwendet. Da jede Tautologie inhärent immer wahr ist, kann sie auch durch den Ausdruck „wahr“ bzw. den äquivalenten Ausdruck im jeweiligen Formalsystem (z.B. 1 in der booleschen Logik) ersetzt oder beschrieben werden.

Da das Symbol ⊤ dem Buchstaben „T“ ähnelt, wird es meist einfach als „Tautologie“ ausgesprochen. Manchmal wird auch der Begriff „verum“ (Lat.: „wahr“) dafür benutzt.

Seltener sieht man das ⊨ Symbol in derselben Bedeutung. Von der Verwendung ist aber abzuraten, da dieses Symbol auch mit der Bedeutung „Implikation“ (Konditional) oder auch für eine logische Ableitung verwendet wird.

• Kontradiktion
• Leere Wahrheit
• Petitio Principii
• Zirkelschluss

• Tautologie auf Wikipedia
• Tautologie auf Mathe für Nicht-Freaks