Kommutativgesetz
Das Kommutativgesetz beschreibt die Eigenschaft bestimmter mathematischer oder logischer Operationen, dass deren Argumente vertauscht werden können – bzw. dass dies für andere Operationen nicht zulässig ist.
Zum Beispiel ist die Addition kommutativ, daher kann man schließen:
a + b
=b + a
Umgekehrt ist die Subtraktion nicht kommutativ1), daher ist der folgende Schluss nicht möglich:
a - b
=b - a
Andere Namen
- Vertauschungsgesetz
Beschreibung
Mathematik
Die meisten Leser dürften das Kommutativgesetz aus der Mathematik kennen. Insbesondere die Regel, dass die folgenden beiden Operationen kommutativ sind:
- Addition:
a + b
=b + a
- Multiplikation:
a ⋅ b
=b ⋅ a
Dagegen sind unter anderem die folgenden mathematischen Operationen nicht kommutativ2)
- Subtraktion:
a - b
=b - a
- Division:
a ÷ b
=b ÷ a
- Modulo:
a mod b
=b mod a
- Potenz:
aᵇ
=bᵃ
Dabei sollte man beachten, dass es, wie bei allen Gesetzen, Einschränkungen und Ausnahmen gibt. So können a
und b
auch bei der Subtraktion oder Division vertauscht werden, wenn gilt, dass a = b
. Dies ist so naheliegend, dass es im Rahmen der Mathematik gewöhnlich nicht weiter erwähnt wird. Genau dies kann aber interessant werden, wenn wir auf logische Operatoren schauen:
Logik
Genauso wie in der Mathematik gibt es auch in der Logik kommutative Operationen, etwa die folgenden:
- Adjunktion:
A ∨ B
≡B ∨ A
(„A oder B, oder beides“ ist logisch äquivalent zu „B oder A, oder beides“)- Kontravalenz:
A ∨ B
≡B ∨ A
(„entweder A oder B, aber nicht beides“ ist logisch äquivalent zu „entweder B oder A, aber nicht beides“)- Konjunktion:
A ∧ B
≡B ∧ A
(„A und B“ ist logisch äquivalent zu „B und A“)- Bikonditional:
A ⟷ B
≡B ⟷ A
(„A genau dann, wenn B“ ist logisch äquivalent zu „B genau dann, wenn A“)
Dagegen sind andere logische Operationen ausdrücklich nicht kommutativ; für uns interessant ist insbesondere die folgende:
- Konditional:
A ⟶ B
≢B ⟶ A
(„wenn A, dann B“ ist nicht logisch äquivalent zu „wennn B, dann A“)
Eine andere Perspektive auf die Unterscheidung zwischen Konditional und Bikonditional ist, dass letztere zwei gleichwertige („äquivalente“) Argumente hat, und dass deswegen die Kommutation dieser Argumente möglich ist. Damit ist das Bikonditional ein Sonderfall des Konditional, welches anwendbar ist, wenn A ≡ B
ist.
Wird ein Konditional auf solche ungültige Weise umgekehrt, wird damit der Fehler der Affirmation der Konsequenz begangen. Siehe hierzu auch: Umkehrungsirrtum.
Siehe auch
Weitere Informationen
a - b
= -(b - a)
.=
) an, dass diese Operation nicht gültig ist. Dies ist nicht dasselbe wie die mathematische Ungleichheit (dargestellt durch ≠
), welche anzeigen würde, dass die beiden Operationen unter allen Umständen unterschiedliche Ergebnisse haben. Auch eine ungültige Operation kann aber zu einem gültigen Ergebnis kommen, so ist zum Beispiel 2⁴ = 4²
. Diese Bedeutung ähnelt der des Symbols „
≢
“ („nicht logisch äquivalent zu“) aus der Logik (siehe im nächsten Abschnitt). Um deutlich zu machen, dass es sich dennoch um eine mathematische und keine logische Operation handelt, wurde hier die (etwas ungewöhnliche) Typographie anstelle des logischen Symboles gewählt.