Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz beschreibt die Eigenschaft bestimmter mathematischer oder logischer Operationen, dass deren Argumente vertauscht werden können – bzw. dass dies für andere Operationen nicht zulässig ist.

Zum Beispiel ist die Addition kommutativ, daher kann man schließen:

a + b = b + a

Umgekehrt ist die Subtraktion nicht kommutativ¹⁾, daher ist der folgende Schluss nicht möglich:

a - b = b - a

• Vertauschungsgesetz

Die meisten Leser dürften das Kommutativgesetz aus der Mathematik kennen. Insbesondere die Regel, dass die folgenden beiden Operationen kommutativ sind:

Addition:

a + b ≡ b + a

Multiplikation:

a ⋅ b ≡ b ⋅ a

Dagegen sind unter anderem die folgenden mathematischen Operationen nicht kommutativ:

Subtraktion:

a - b ≢ b - a

Division:

a ÷ b ≢ b ÷ a

Modulo:

a mod b ≢ b mod a

Potenz:

aᵇ ≢ bᵃ

Dabei sollte man beachten, dass es, wie bei allen Gesetzen, Einschränkungen und Ausnahmen gibt. So können a und b auch bei der Subtraktion oder Division vertauscht werden, wenn gilt, dass a = b. Dies ist so naheliegend, dass es im Rahmen der Mathematik gewöhnlich nicht weiter erwähnt wird. Genau dies kann aber interessant werden, wenn wir auf logische Operatoren schauen:

Genauso wie in der Mathematik gibt es auch in der Logik kommutative Operationen, etwa die folgenden:

Adjunktion:

A ∨ B ≡ B ∨ A
(„A oder B, oder beides“ ist logisch äquivalent zu „B oder A, oder beides“)

Kontravalenz:

A ∨ B ≡ B ∨ A
(„entweder A oder B, aber nicht beides“ ist logisch äquivalent zu „entweder B oder A, aber nicht beides“)

Konjunktion:

A ∧ B ≡ B ∧ A
(„A und B“ ist logisch äquivalent zu „B und A“)

Bikonditional:

A ⟷ B ≡ B ⟷ A
(„A genau dann, wenn B“ ist logisch äquivalent zu „B genau dann, wenn A“)

Dagegen sind andere logische Operationen ausdrücklich nicht kommutativ; für uns interessant ist insbesondere die folgende:

Konditional:

A ⟶ B ≢ B ⟶ A
(„wenn A, dann B“ ist nicht logisch äquivalent zu „wennn B, dann A“)

Eine andere Perspektive auf die Unterscheidung zwischen Konditional und Bikonditional ist, dass letztere zwei gleichwertige („äquivalente“) Argumente hat, und dass deswegen die Kommutation dieser Argumente möglich ist. Damit ist das Bikonditional ein Sonderfall des Konditional, welches anwendbar ist, wenn A ≡ B ist.

Wird ein Konditional auf solche ungültige Weise umgekehrt, wird damit der Fehler der Affirmation der Konsequenz begangen. Siehe hierzu auch: Umkehrungsirrtum.

• Affirmation der Konsequenz
• Umkehrungsirrtum

• Kommutativgesetz