Bikonditional

Eine zusammen­gesetzte logische Aus­sage, welche genau dann wahr ist, wenn beide Seiten den­selben Wahrheits­wert haben.

Beispiele für bikonditionale Aussagen:

Eine Zahl ist gerade genau dann, wenn sie ohne Rest durch zwei teilbar ist.

Die Menge der Zahlen, die durch zwei teilbar sind ist äquivalent zur Menge der geraden Zahlen.

Die beiden Formulierungen „genau dann, wenn“ und „ist äquivalent zu“ sind aus logischer Sicht austauschbar (mit anderen Worten: sie sind äquivalent).

• (Materiale) Äquivalenz
• Bisubjunktion

Ein Bikonditional ist wahr wenn beide Teilaussagen äquivalent sind.

Dies ist ein Sonder­fall des Konditional (die auch „Subjunktion“ genannt wird): Für jede wahre bik­onditionale Aussage A ↔ B gilt, dass auch die beiden Konditionale A → B, sowie B → A wahr sein müssen.

Es gilt, dass:

A ⟶ B           (Wenn A, dann B)
∧ B ⟶ A     (und, wenn B, dann A)
∴ A ⟷ B     (dann folgt daraus: B genau dann, wenn A)

Das Bikondional ist damit logisch das genaue Gegenteil der Kontravalenz.

Auf dieser Site wird als Symbol für das Bikonditional das doppelte Pfeilsymbol, entweder mit einfachem (↔/⟷) oder dop­peltem Strich (⇔/⟺) verwendet. Letzteres wird insbesondere verwendet, um eine sekundäre Verbindung zu kennzeichnen. Es ersetzt damit Klammersymbole, welche v.a. längere Formeln schwerer lesbar machen würden. Die längeren Pfeil­varianten dienen dazu, die Lesbarkeit (z.B. in Formeln) zu verbessern, haben aber dieselbe Bedeutung. In jedem Fall werden alle diese Symbole als „genau dann, wenn“ ausgesprochen.

In anderen Publikationen kann man u.a. auch = oder gelegentlich auch die Tilde (~) finden, die allerdings auch andere Bedeutungen hat und deswegen besser vermieden werden sollte: Das Identitätszeichen (≡) wird zwar eigentlich für die logische Äquivalenz gebraucht, diese ist aber in vielen Situationen mit dem Bi­konditional identisch. Schließlich findet man immer häufiger das aus der Informatik stammende Kunstwort iff („if and only if  “).

Das Bikonditional ist eine sehr aussagekräftige logische Funktion, was auch heißt, dass es außerhalb von formalen Systemen (wie Mathematik und Logik) nur sehr wenige praktische Anwendungs­fälle gibt, in denen solche Aussagen wirklich gültig wären.

Dies umfasst insbesondere die folgenden Situationen:

Offensichtlich sind bi­konditionale Aussagen immer gültig, wenn Antezedenz und Konsequenz (A und B) identisch sind (z.B. „Wenn es regnet, regnet es“).

Dasselbe gilt auch, wenn die Tautologie nur indirekt besteht, etwa durch die Definitionen der verwendeten Begriffe; solche Aussagen gibt es v.a. in der Mathematik – z.B. aus „wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, ist sie gerade“ lässt sich ableiten, dass „wenn eine Zahl nicht gerade ist, ist sie nicht durch 2 teilbar“, da „gerade“ und „durch 2 teilbar“ der Definition nach synonym verwendbar sind.

Solche Tautologien können über mehrere Zwischenstufen definiert sein, wie das folgende Beispiel zeigt:

Wenn heute Montag ist, ist übermorgen Mittwoch.

Man kann „Mittwoch“ definieren als „der Tag nach Dienstag“ und diesen wiederum als den „Tag nach Montag“. Damit liegt der Mittwoch definitions­gemäß „zwei Tage nach Montag“. Damit ist die Aussage tautologisch und folglich ist auch die Umkehrung wahr:

Wenn übermorgen Mittwoch ist, ist heute Montag.

Auch unabhängig von einer echten Tautologie können A und B identische Mengen beschreiben: In der Mengenlehre lässt sich dies wie folgt beschreiben: 𝔸 ∖ 𝔹 = ∅ (die Differenzmenge von A mit B ist leer).

Zum Beispiel die folgenden Mengen:

𝔸 = Alle Astronauten, die zum Mond geflogen sind.
𝔹 = Alle Personen, die Gesteinsproben vom Mond geholt haben.

Auch wenn 𝔸 und 𝔹 nicht notwendigerweise dieselbe Menge beschreiben (es ist möglich, zum Mond zu fliegen, ohne Gesteinsproben mitzubringen), ist die Differenzmenge dieser Gruppen die leere Menge¹⁾. Daher ist das Bikonditional A ↔ B gültig.

Der logische Fehlschluss der Negation der Antezedenz beruht auf einer Verwechslung von Konditional und Bikonditional.

• Bijektion
• Konditional
• Negation der Antezedenz

• Bikonditional auf Wikipedia