Bikonditional

Eine zusammen­gesetzte logische Aus­sage, welche genau dann wahr ist, wenn beide Seiten den­selben Wahr­heits­wert haben.

Beispiele für bi­kondi­tionale Aussagen:

Eine Zahl ist gerade genau dann, wenn sie ohne Rest durch zwei teilbar ist.

Die Menge der Zahlen, die durch zwei teilbar sind ist äquivalent zur Menge der geraden Zahlen.

Die beiden Formulierungen „genau dann, wenn“ und „ist äquivalent zu“ sind aus logischer Sicht austauschbar (mit anderen Worten: sie sind äquivalent).

• (Materiale) Äqui­valenz
• Bi­sub­junk­tion

Ein Bikonditional ist wahr wenn beide Teil­aus­sagen äqui­valent sind.

Dies ist ein Sonder­fall der Sub­junk­tion (die auch „Kondi­tional“ ge­nannt wird): Für jede wahre bi­kon­di­tion­ale Aus­sage A ↔ B gilt, dass sowohl A → B als auch B → A wahr sein müssen.

Es gilt, dass:

A → B	–	wenn A, dann B
∧ B → A	–	und, wenn B, dann A
∴ A ↔ B	–	Daraus folgt: B genau dann, wenn A

Das Bi­kondional ist damit logisch das genaue Gegent­eil der Kontra­valenz.

Je nachdem, für welche der beiden o.g. Formu­lier­ungen das Symbol im je­weiligen Kon­text steht, wird auf dieser Site ent­weder das Äqui­valenz­zeichen ↔ (bzw. die dop­pelte Form ⇔), oder das Iden­ti­täts­zeichen ≡ (ge­sprochen: „genau dann, wenn“) als Junk­tor­en­symbol für das Bi­kondi­tional ver­wendet.

In anderen Publi­ka­tionen kann man u.a. auch = oder ge­legent­lich auch die Tilde (~) finden. Auch das aus der In­for­matik stam­mende Kunst­wort iff („if and only if  “) ist ge­bräuchlich.

Das Bi­kon­di­tional ist einw sehr aus­sage­kräftige logische Funktion, was auch heißt, dass es außer­halb von formalen Systemen (wie Mathe­matik und Logik) nur sehr wenige praktische An­wend­ungs­fälle gibt, in denen solche Aus­sagen wirklich gültig wären.

Dies umfasst insbesondere die folgenden Situationen:

Offensichtlich sind bikonditionale Aussagen immer gültig, wenn Antezedenz und Konsequenz (A und B) identisch sind (z.B. „Wenn es regnet, regnet es“).

Dasselbe gilt auch, wenn die Tautologie nur indirekt besteht, etwa durch die Definitionen der verwendeten Begriffe; Solche Aussagen gibt es v.a. in der Mathematik – z.B. aus „wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, ist sie gerade“ lässt sich ableiten, dass „wenn eine Zahl nicht gerade ist, ist sie nicht durch 2 teilbar“, da „gerade“ und „durch 2 teilbar“ per Definition synonym verwendbar sind.

Solche Tautologien können über mehrere Zwischenstufen definiert sein, wie das folgende Beispiel zeigt:

Wenn heute Montag ist, ist übermorgen Mittwoch.

Man kann „Mittwoch“ definieren als „der Tag nach Dienstag“ und diesen wiederum als den „Tag nach Montag“. Damit liegt der Mittwoch per Definition „zwei Tage nach Montag“. Damit ist die Aussage tautologisch und folglich ist auch die Umkehrung wahr:

Wenn übermorgen Mittwoch ist, ist heute Montag.

Auch unabhängig von einer echten Tautologie können A und B identische Mengen beschreiben: In der Mengenlehre lässt sich dies wie folgt beschreiben: 𝔸 ∖ 𝔹 = ∅ (die Differenzmenge von A mit B ist leer).

Zum Beispiel die folgenden Mengen:

𝔸 = Alle Astronauten, die zum Mond geflogen sind.
𝔹 = Alle Personen, die Gesteinsproben vom Mond geholt haben.

Auch wenn 𝔸 und 𝔹 nicht notwendigerweise dieselbe Menge beschreiben (es ist möglich, zum Mond zu fliegen, ohne Gesteinsproben mitzubringen), ist die Differenzmenge dieser Gruppen die leere Menge*. Daher ist das Bikonditional A ≡ B gültig.

* Hinweis: ich vermute, dass diese Gruppen identisch sind, habe dafür aber keine Quelle gefunden. Dies soll daher nur ein (rein theoretisches) Beispiel darstellen. Wer mehr Informationen dazu hat, soll mich bitte kontaktieren.

Der logische Fehlschluss der Negation der Antezedenz beruht auf einer Verwechslung von Subjunktion und Bikonditional.

• Subjunktion
• Negation der Antezedenz

• Bikonditional auf Wikipedia