Quantor (Logik)

Bezeichner, der zur Quantifizierung einer Aussage dient. In der natürlichen Sprache sind das Wörter wie „einige“ oder „alle“, in der formellen Logik werden Symbole wie „∀“ oder „∃“ verwendet.

In der Aussagen­logik, wie sie im Rahmen dieser Site ge­braucht wird, sind nur zwei Quant­oren, je­weils in einer posi­tiven und einer nega­tiven Vari­ante, von Belang:

• Quantifikator
• Quantifier

Der Allquantor bezieht sich auf alle Ele­mente einer Menge. In der ge­sproch­enen Sprache wird dieser ge­wöh­nlich durch ein In­de­fi­nit­pro­nomen wie „alle“ (positiv) bzw. „kein“ (negativ) aus­ge­drückt. Es handelt sich damit um ⁠All­sätze.

Als logische Formel kann man diese unter anderem wie folgt dar­stellen:

∀ 𝑠 : P
(Für alle 𝑠 gilt P)

oder in der negativen Variante:

∄ 𝑠 : P
(Es existiert kein 𝑠, für welches P gilt)

Für weitere Informationen, siehe: ⁠Allsatz.

Ein Existenzquantor bezieht sich nur auf einen Teil der Begriffs­menge. Streng aus­ge­legt lässt sich daraus nur ableiten, dass zumindest ein Element existiert, für welches die Aussage wahr ist. Der umgangssprachliche Name für solche Aussage ist „Existenzsatz“.

In der gesprochenen Sprache kann dies durch Pronomen wie „einige“, „manche“, „zum Teil“, oder durch Formulierungen wie „es existieren …“ ausgedrückt werden.

Als logische Formel kann dies wie folgt aussehen:

∃ 𝑠 : P
(es existiert [mindestens] ein 𝑠 für welches P gilt)

Ein negativer Existenzsatz kann auf verschiedene Weisen ausgedrückt werden, unter anderem wie folgt:

∃ 𝑠 : ¬P
(es existiert [mindestens] ein 𝑠, für welches nicht-P gilt)

Für weitere Informationen, siehe: ⁠Existenzsatz.

Die oben genannten Quantoren wurden be­reits von Aris­to­te­les mehr oder weniger so ge­braucht, wie wir sie heute noch ver­wenden. Sie sind auch heut­zu­tage noch rele­vant – nicht zu­letzt, um etwa an­hand von kate­gor­ischen Aus­sagen und Syl­log­is­men die auf diesen Quan­toren be­ruhen, die wich­tigs­ten log­ischen Fehler gut und ohne unnötigen Bal­last zu er­klären.

Aber natür­lich hat sich die Logik in den Jahr­taus­enden, die seit­dem ver­gangen sind, weiter ent­wickelt.

Die Notwendigkeit hierfür kam oft aus der Mathe­matik, die Aus­drucks­mög­lich­keiten be­nöt­igt, die über die von kate­gor­ischen Aus­sagen hin­aus gehen. Zum Bei­spiel könnte eine mathe­matische Beweis­führung eine Aus­sage ent­halten, wie: „Es ex­ist­ieren un­end­lich viele X, für die gilt …“, oder: „Es existiert genau ein X, für das gilt …“. Solche Aus­sage lassen sich mit den All- und Existenz-Quan­toren nur sehr schwer oder über­haupt nicht be­schreiben.

Um mit solchen und ähnlichen Problemen um­gehen zu kön­nen, wurden in der modernen Logik die gener­ali­sierten Quant­oren (Engl.: gener­al­ized quan­ti­fiers) ent­wick­elt. In diesem Sys­tem sind die oben ge­nannten All- und Exis­tenz-Quant­oren nur noch spe­zi­fische An­wend­ungs­fälle einer all­gemein­eren Systematik.

Dieses (aus­gesprochen span­nende!) Thema liegt außer­halb des Themen­bereiches dieser Web­site und wird hier nur der Voll­ständ­ig­keit halber er­wähnt. Wer sich da­für inter­es­siert, findet im Artikel Gener­al­ized Quan­ti­fiers auf der Web­site der Stan­ford En­cy­clo­pe­dia of Phi­lo­so­phy weit­ere In­for­mationen.

• Junktor
• Logische Symbole

• Quantor auf Wikipedia
• Quantor auf „Mathe für Nicht-Freaks“ (Wikibooks)