Quantor (Logik)

Bezeichner, der zur Quantifizierung einer Aussage dient. In der natürlichen Sprache sind das Wörter wie „einige“ oder „alle“, in der formellen Logik werden Symbole wie „∀“ oder „∃“ verwendet.

In der Aussagenlogik, wie sie im Rahmen dieser Site gebraucht wird, sind nur zwei Quantoren, jeweils in einer positiven und einer negativen Variante, von Belang: der All- („alle“) und der Existenzquantor („einige“).

• Quantifikator
• Quantifier

Der Allquantor bezieht sich auf alle Ele­mente einer Menge. In der ge­sproch­enen Sprache wird dieser ge­wöh­nlich durch ein In­de­fi­nit­pro­nomen wie „alle“ (positiv) bzw. „kein“ (negativ) aus­ge­drückt. Es handelt sich damit um ⁠All­sätze.

Als logische Formel kann man diese unter anderem wie folgt dar­stellen:

∀ 𝑠 : P
(Für alle 𝑠 gilt P)

oder in der negativen Variante:

∄ 𝑠 : P
(Es existiert kein 𝑠, für welches P gilt)

Für weitere Informationen, siehe: ⁠Allsatz.

Ein Existenzquantor bezieht sich nur auf einen Teil der Begriffsmenge. Streng ausgelegt lässt sich daraus nur ableiten, dass zumindest ein Element existiert, für welches die Aussage wahr ist. Der umgangssprachliche Name für solche Aussage ist „Existenzsatz“.

In der gesprochenen Sprache kann dies durch Pronomen wie „einige“, „manche“, „zum Teil“, oder durch Formulierungen wie „es existieren …“ ausgedrückt werden.

Als logische Formel kann dies wie folgt aussehen:

∃ 𝑠 : P
(es existiert [mindestens] ein 𝑠 für welches P gilt)

Ein negativer Existenzsatz kann auf verschiedene Weisen ausgedrückt werden, unter anderem wie folgt:

∃ 𝑠 : ¬P
(es existiert [mindestens] ein 𝑠, für welches nicht-P gilt)

Für weitere Informationen, siehe: ⁠Existenzsatz.

Die oben genannten Quantoren wurden bereits von Aristoteles mehr oder weniger so gebraucht, wie wir sie heute noch verwenden. Sie sind auch heutzutage noch relevant – nicht zuletzt, um etwa anhand von kategorischen Aussagen und Syllogismen die auf diesen Quantoren beruhen, die wichtigsten logischen Fehler gut und ohne unnötigen Ballast zu erklären.

Aber natürlich hat sich die Logik in den Jahrtausenden, die seitdem vergangen sind, weiter entwickelt.

Die Notwendigkeit hierfür kam oft aus der Mathematik, die Ausdrucksmöglichkeiten benötigt, die über die von kategorischen Aussagen hinaus gehen. Zum Beispiel könnte eine mathematische Beweisführung eine Aussage enthalten, wie: „Es existieren unendlich viele X, für die gilt …“, oder: „Es existiert genau ein X, für das gilt …“. Solche Aussage lassen sich mit den All- und Existenz-Quantoren nur sehr schwer oder überhaupt nicht beschreiben.

Um mit solchen und ähnlichen Problemen umgehen zu können, wurden in der modernen Logik die generalisierten Quantoren (Engl.: generalized quantifiers) entwickelt. In diesem System sind die oben genannten All- und Existenz-Quantoren nur noch spezifische Anwendungsfälle einer allgemeineren Systematik.

Dieses (ausgesprochen spannende!) Thema liegt außerhalb des Themenbereiches dieser Website und wird hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt. Wer sich dafür interessiert, findet im Artikel Generalized Quantifiers (Englisch) auf der Website der Stanford Encyclopedia of Philosophy weitere Informationen.

• Junktor
• Logische Symbole

• Quantor auf Wikipedia
• Quantor auf „Mathe für Nicht-Freaks“ (Wikibooks)