| Beide Seiten der vorigen RevisionVorhergehende ÜberarbeitungNächste Überarbeitung | Vorhergehende Überarbeitung |
| mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_kleinen_zahlen [28.11.22, 23:30:44] – [Gesetz der kleinen Zahlen] sascha | mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_kleinen_zahlen [22.04.23, 12:27:38] (aktuell) – [Roulette] sascha |
|---|
| Dies steht im Gegensatz zum sog. „[[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:hauptseite|Gesetz der großen Zahlen]]“, nach dem bei //sehr vielen// Würfen alle möglichen Augenzahlen annähernd gleich oft zu erwarten sind. | Dies steht im Gegensatz zum sog. „[[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:hauptseite|Gesetz der großen Zahlen]]“, nach dem bei //sehr vielen// Würfen alle möglichen Augenzahlen annähernd gleich oft zu erwarten sind. |
| |
| <html><p class="info-box"></html>**Hinweis:** Die hier beschriebene Wahrscheinlichkeitsheuristik sollte nicht mit dem Phänomen verwechselt werden, dass viele Menschen die Folgen //sehr seltener// Ereignisse systematisch falsch einschätzen, was auch manchmal (fälschlich) als „Gesetz der kleinen Zahlen“ bezeichnet wird. Siehe hierzu <html><span class="maniculus" title="Weitere Informationen im folgenden Artikel::"></span></html> [[mathematik:statistik:analysefehler:praevalenzfehler:bayes-falle|Bayes-Falle]].<html></p></html> | <aside info> |
| | **Hinweis:** Die hier beschriebene Wahrscheinlichkeitsheuristik sollte nicht mit dem Phänomen verwechselt werden, dass viele Menschen die Folgen //sehr seltener// Ereignisse systematisch falsch einschätzen, was auch manchmal (fälschlich) als „Gesetz der kleinen Zahlen“ bezeichnet wird. Siehe hierzu <span maniculus "Weitere Informationen im folgenden Artikel::"> [[mathematik:statistik:analysefehler:praevalenzfehler:bayes-falle|Bayes-Falle]]</span>. |
| | </aside> |
| |
| ===== Andere Namen ===== | ===== Andere Namen ===== |
| ===== Beschreibung ===== | ===== Beschreibung ===== |
| |
| Bei voneinander unabhängigen Zufallsereignissen können in jeder neuen Runde alle möglichen Werte wieder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erneut auftreten. Daraus ergibt sich zum einen, dass diese bei sehr vielen Wiederholungen zunehmend gleich häufig auftreten (<html><span class="maniculus" title="siehe hierzu den folgenden Artikel::"></span></html>[[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:hauptseite|Gesetz der großen Zahlen]]), aber eben auch, dass es eher unwahrscheinlich ist, dass dies bereits bei sehr wenigen Ereignissen auftritt. | Bei voneinander unabhängigen Zufallsereignissen können in jeder neuen Runde alle möglichen Werte wieder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erneut auftreten. Daraus ergibt sich zum einen, dass diese bei sehr vielen Wiederholungen zunehmend gleich häufig auftreten (<span maniculus "siehe hierzu den folgenden Artikel::">[[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:hauptseite|Gesetz der großen Zahlen]]</span>), aber eben auch, dass es eher unwahrscheinlich ist, dass dies bereits bei sehr wenigen Ereignissen auftritt. |
| |
| Bei genau so vielen Ereignissen wie es Möglichkeiten gibt (also z.B. genau sechs Würfen eines sechsseitig Würfels) gilt als //Faustregel// (<html><span class="maniculus" title="eine „Faustregel“ ist eine Form von Heuristik; Mehr hierzu unter:"></span></html>[[begriffe:heuristik|Heuristik]]), dass jeweils rund (!) ein Drittel der möglichen Ergebnisse genau //mehrfach//, //einfach// oder //überhaupt nicht// zu erwarten sind. Dies wird spezifisch auch als „Zwei-Drittel-Gesetz“ bezeichnet. | Bei genau so vielen Ereignissen wie es Möglichkeiten gibt (also z.B. genau sechs Würfen eines sechsseitig Würfels) gilt als //Faustregel// (<span maniculus "eine „Faustregel“ ist eine Form von Heuristik; Mehr hierzu unter:">[[begriffe:heuristik|Heuristik]]</span>), dass jeweils rund (!) ein Drittel der möglichen Ergebnisse genau //mehrfach//, //einfach// oder //überhaupt nicht// zu erwarten sind. Dies wird spezifisch auch als „Zwei-Drittel-Gesetz“ bezeichnet. |
| |
| Aus dem „Gesetz der kleinen Zahlen“ lässt sich aber auch ableiten, dass bei seltenen Ereignissen mit „<html><i lang="en">Clustern</i></html>“ zu rechnen ist, also dass sich auch vergleichsweise seltene Ereignisse unter bestimmten Umständen gehäuft auftreten können. | Aus dem „Gesetz der kleinen Zahlen“ lässt sich aber auch ableiten, dass bei seltenen Ereignissen mit „<i :en>Clustern</i>“ zu rechnen ist, also dass sich auch vergleichsweise seltene Ereignisse unter bestimmten Umständen gehäuft auftreten können. |
| |
| <html><p class="info-box"></html>**Hinweis:** Leider sagt diese Regel nichts darüber aus, //welche// der möglichen Ergebnisse häufiger auftreten werden als die anderen. Für den Aufbau einer Gewinn versprechenden Spielstrategie ist das „Gesetz der kleinen Zahlen“ daher nicht zu gebrauchen.<html></p></html> | <aside info> |
| | **Hinweis:** Leider sagt diese Regel nichts darüber aus, //welche// der möglichen Ergebnisse häufiger auftreten werden als die anderen. Für den Aufbau einer Gewinn versprechenden Spielstrategie ist das „Gesetz der kleinen Zahlen“ daher nicht zu gebrauchen. |
| | </aside> |
| |
| ===== Weitere Beispiele ===== | ===== Weitere Beispiele ===== |
| ==== Roulette ==== | ==== Roulette ==== |
| |
| Bei genau 37 Runden eines (vereinfachten) Roulette-Spiels (mit genau <html><sup>1</sup>/<sub>37</sub></html> Gewinnchance für jede mögliche Zahl) kann man erwarten, dass die verschiedenen möglichen Ergebnisse (Zahlen von 0 bis 36) wie folgt verteilt auftreten: | Bei genau 37 Runden eines (vereinfachten) Roulette-Spiels (mit genau <sup>1</sup>/<sub>37</sub> Gewinnchance für jede mögliche Zahl) kann man erwarten, dass die verschiedenen möglichen Ergebnisse (Zahlen von 0 bis 36) wie folgt verteilt auftreten: |
| |
| ^ Erscheinen ^ in Prozent ^ Absolut ^ | ^ Erscheinen ^ in Prozent ^ Absolut ^ |
| | einmal | 37,3 % | 13,8| | | einmal | 37,3 % | 13,8| |
| | mehrfach | 26,3 % | 9,7| | | mehrfach | 26,3 % | 9,7| |
| | |
| | Auch hier lässt sich mit diesem Wissen nicht vorhersehen, //welche// der Zahlen häufiger fallen werden. |
| |
| ==== Tombola ==== | ==== Tombola ==== |
| Bei einer Schultombola werden Lose mit einer Gewinnchance von 1:10 verkauft. Um vermeintlich sicher einen Gewinn zu erzielen, kauft A genau 10 Lose. | Bei einer Schultombola werden Lose mit einer Gewinnchance von 1:10 verkauft. Um vermeintlich sicher einen Gewinn zu erzielen, kauft A genau 10 Lose. |
| |
| Tatsächlich liegt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der 10 gekauften Lose ein Gewinn ist, „nur“ bei rund ⅔. Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund ⅓ sind sogar zwei Gewinne dabei, dafür hat A mit einer Wahrscheinlichkeit von ebenfalls rund ⅓ ausschließlich Nieten gekauft. | Tatsächlich liegt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der 10 gekauften Lose ein Gewinn ist, „nur“ bei rund ⅔. Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund ⅓ sind sogar zwei oder mehr Gewinne dabei, dafür hat A mit einer Wahrscheinlichkeit von ebenfalls rund ⅓ ausschließlich Nieten gekauft. |
| |
| ===== Siehe auch ===== | ===== Siehe auch ===== |
