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Gesetz der großen Zahlen

Der Begriff „Gesetz der großen Zahlen“ bezeichnet die Tendenz, dass die Ergebnisse zufälliger Ereignisse, wenn diese sehr häufig wiederholt werden, nach bestimmten, vorhersehbaren Verteilungen hin konvergieren.

Beispiel:

Wird ein (fairer) Würfel sehr oft geworfen, erscheint jede mögliche Zahl von Augen (1 bis 6) zunehmend ähnlich häufig.

(übrigens ist die obige Aussage tautologisch, da ein Würfel genau dann als „fair“ bezeichnet wird, wenn er so gestaltet ist, dass jede Zahl möglichst ähnlich häufig erscheint)

Beschreibung

Voneinander unabhängige Zufallsereignisse, die mit einer bekannten Wahrscheinlichkeit eintreten, tendieren bei sehr häufiger (im Zweifelsfall: unendlicher!) Wiederholung dazu, entsprechend dieser Wahrscheinlichkeit verteilte Ergebnisse zu erzielen.

Anders gesagt: wenn die Zahl der Wiederholungen gegen unendlich geht, tendiert der Druchschnittswert der Ereignisse zum statistischen Erwartungswert.

Regression zur Mitte

Eine Variante des Gesetzes der großen Zahlen ist das Gesetz der „Re­gres­sion zur Mitte“. Dieses besagt, dass um einen zen­tralen Er­wart­ungs­wert vari­ierende (z.B. normal­ver­teilte) Merk­male, auch nach einem „Aus­reißer“ nach oben oder unten, eher wieder zum Er­wart­ungs­wert zu­rück tendieren.

Betrachten wir noch einmal eine Folge von Würfel­spielen: der zu er­wart­ende Durch­schnitts­wert der Augen­zahlen bei sehr vielen Würfen wäre (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3,5. Aus dem Gesetz der großen Zahlen ergibt sich, dass sich bei einer großen Zahl von Würfen ein Durch­schnitts­wert von 3,5 ein­pendeln müsste.

Das Gesetz der Regression zur Mitte besagt nun, dass sich dieser Er­wart­ungs­wert auch dann nicht ver­ändert, wenn nun in einer Würfel­runde zufällig ein höherer Durch­schnitts­wert er­würf­elt wurde. Für die nächsten Runden ist trotz­dem wieder zu er­warten, dass ein durch­schnitt­licher Augen­wert von 3,5 er­würf­elt wird, dass die Würfel­folge also wieder zu ihrem Er­wart­ungs­wert zu­rück­kehrt.

Mehr hierzu:  Regression zur Mitte.

Spielerfehlschluss

Aus dem „Gesetz der großen Zahlen“ lässt sich ausdrücklich nicht ableiten, dass ein Er­gebnis, das bis­her seltener als er­wartet auf­ge­treten ist, diesen Rück­stand irgend­wie auf­holen müsse und daher in Zu­kunft häufiger er­scheinen wird. Bei von­einander un­ab­hängigen Er­eig­nissen haben vor­herige Er­gebnisse nach wie vor keinen Einfluss auf zu­künftige.

Die (fälschliche) Annahme, es müsse einen solchen Aus­gleich geben, ist gerade bei Glücks­spielern weit ver­breitet und wird daher auch Spieler­fehl­schluss genannt.

Siehe auch

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Über diese Site

Denkfehler Online ist ein Projekt, die häufigsten Irr­tümer und Trug­schlüsse zu erklären und zu kate­gori­sieren. Auf dieser Seite finden sie einen Hinter­grund­artikel, der ein wichtiges Konzept aus dem Bereich „Stochastik“, welches zum Ver­­ständnis von anderen Artikel nötig ist, kurz erklärt.
Für mehr In­for­ma­tionen, siehe die Haupt­kategorie Stochastik.

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