Gesetz der großen Zahlen
Der Begriff „Gesetz der großen Zahlen“ bezeichnet die Tendenz, dass die Ergebnisse zufälliger Ereignisse, wenn diese sehr häufig wiederholt werden, nach bestimmten, vorhersehbaren Verteilungen hin konvergieren.
Beispiel:
Wird ein (fairer) Würfel sehr oft geworfen, erscheint jede mögliche Zahl von Augen (1 bis 6) zunehmend ähnlich häufig.
(übrigens ist die obige Aussage tautologisch, da ein Würfel genau dann als „fair“ bezeichnet wird, wenn er so gestaltet ist, dass jede Zahl möglichst ähnlich häufig erscheint)
Beschreibung
Voneinander unabhängige Zufallsereignisse, die mit einer bekannten Wahrscheinlichkeit eintreten, tendieren bei sehr häufiger (im Zweifelsfall: unendlicher!) Wiederholung dazu, entsprechend dieser Wahrscheinlichkeit verteilte Ergebnisse zu erzielen.
Anders gesagt: wenn die Zahl der Wiederholungen gegen unendlich geht, tendiert der Druchschnittswert der Ereignisse zum statistischen Erwartungswert.
Regression zur Mitte
Eine Variante des Gesetzes der großen Zahlen ist das Gesetz der „Regression zur Mitte“. Dieses besagt, dass um einen zentralen Erwartungswert variierende (z.B. normalverteilte) Merkmale, auch nach einem „Ausreißer“ nach oben oder unten, eher wieder zum Erwartungswert zurück tendieren.
Betrachten wir noch einmal eine Folge von Würfelspielen: der zu erwartende Durchschnittswert der Augenzahlen bei sehr vielen Würfen wäre (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3,5
. Aus dem Gesetz der großen Zahlen ergibt sich, dass sich bei einer großen Zahl von Würfen ein Durchschnittswert von 3,5
einpendeln müsste.
Das Gesetz der Regression zur Mitte besagt nun, dass sich dieser Erwartungswert auch dann nicht verändert, wenn nun in einer Würfelrunde zufällig ein höherer Durchschnittswert erwürfelt wurde. Für die nächsten Runden ist trotzdem wieder zu erwarten, dass ein durchschnittlicher Augenwert von 3,5
erwürfelt wird, dass die Würfelfolge also wieder zu ihrem Erwartungswert zurückkehrt.
Mehr hierzu: Regression zur Mitte.
Spielerfehlschluss
Aus dem „Gesetz der großen Zahlen“ lässt sich ausdrücklich nicht ableiten, dass ein Ergebnis, das bisher seltener als erwartet aufgetreten ist, diesen Rückstand irgendwie aufholen müsse und daher in Zukunft häufiger erscheinen wird. Bei voneinander unabhängigen Ereignissen haben vorherige Ergebnisse nach wie vor keinen Einfluss auf zukünftige.
Die (fälschliche) Annahme, es müsse einen solchen Ausgleich geben, ist gerade bei Glücksspielern weit verbreitet und wird daher auch Spielerfehlschluss genannt.
Siehe auch
Mehr Informationen
- Gesetz der großen Zahlen auf Wikipedia
- Gesetz der großen Zahlen auf Mathepedia