Bayes-Theorem

Ein Theorem der Wahr­schein­lich­keits­theorie zur Berechnung bedingter Wahr­schein­lich­keiten, benannt nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes.

• Satz von Bayes
• Bayes’ law

Das Bayes-Theorem beschreibt wie absolute und bedingte Wahr­schein­lich­keiten zweier Ereignisse sich zu­ein­ander ver­halten.

Hierin ergibt sich die bedingte Wahr­schein­lich­keit von 𝑨 unter der Vor­aus­setz­ung, dass 𝑩 ein­getreten ist. Hierfür müssen die bedingte Wahr­schein­lich­keit von 𝑩 unter der Vor­aus­setzung, dass 𝑨 ein­getreten ist, sowie die absoluten (a-priori) Wahr­schein­lich­keiten von 𝑨 und 𝑩 bekannt sein.

Darin ist:

• 𝑷 ( 𝐴 | 𝐵 ) = Die bedingte Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑨 eintritt unter der Vor­aus­setz­ung, dass Er­eig­nis 𝑩 eigetreten ist
• 𝑷 ( 𝐵 | 𝐴 ) = Die bedingte Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑩 eintritt unter der Vor­aus­setz­ung, dass Er­eig­nis 𝑨 eingetreten ist.
• 𝑷 ( 𝐴) = Die a-priori Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑨 eintritt.
• 𝑷 ( 𝐵 ) = Die a-priori Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑩 eintritt.

Alle Wahr­schein­lich­keiten werden als Fließ­komma­zahl zwischen 0 (sehr unwahrscheinlich) und 1 (sehr wahrscheinlich) in die Berechnung übernommen. Für eine Wahr­­schein­­lich­­keit von 50 % wird also 0,5 eingefügt.

Die einzige Einschränkung dabei ist, dass 𝑷 ( 𝐵 ) nicht genau 0 sein darf (siehe: Division durch Null)

Das Bayes-Theorem hat sich als einer der wichtigsten Kernsätze der Wahr­schein­lich­keits­rech­nung erwiesen für den es zahlreiche Anwendungsfälle in Statistik (siehe Bayessche Statistik) und darüber hinaus gibt.

• Bayes-Falle
• Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Prävalenzfehler

• Satz von Bayes auf Wikipedia