Gesetz der kleinen Zahlen

Beschreibt als eine Heu­ristik für die Er­wart­ungs­werte der Ver­teil­ung der Er­geb­nisse von zu­fäl­ligen, von­ein­ander un­ab­häng­igen Er­eig­nis­sen bei nur wenigen Er­eig­nis­sen.

Demnach tritt bei genau so vielen Zu­falls­ereig­nis­sen wie es Aus­gangs­mög­lich­keiten gibt, jeweils etwa ein Drit­tel der mög­lichen Er­geb­nisse gar nicht, genau ein­mal oder mehr­fach ein.

Beispiel:

Wird ein (fairer, sechs­seitiger) Würfel genau 6× ge­worfen, ist es relativ un­wahr­schein­lich (nur 5:324 oder ca. 1,5 %), dass jede Augen­zahl gleich oft ge­würf­elt wird. Statt­des­sen ist zu er­warten, dass zwei der mög­lichen Augen­zahlen genau ein­mal, zwei weitere je­weils zwei­mal und die ver­bleib­enden zwei über­haupt nicht er­scheinen.

Dies steht im Gegen­satz zum sog. „Gesetz der großen Zahlen“, nach dem bei sehr vielen Würfen alle mög­lichen Augen­zahlen an­nähernd gleich oft zu erwarten sind.

• Zwei-Drittel-Gesetz
• Gesetz des Drittels

Bei voneinander unabhängigen Zufallsereignissen können in jeder neuen Runde alle möglichen Werte wieder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erneut auftreten. Daraus ergibt sich zum einen, dass diese bei sehr vielen Wiederholungen zunehmend gleich häufig auftreten (Gesetz der großen Zahlen), aber eben auch, dass es eher unwahrscheinlich ist, dass dies bereits bei sehr wenigen Ereignissen auftritt.

Bei genau so vielen Ereignissen wie es Möglichkeiten gibt (also z.B. genau sechs Würfen eines sechs­sei­tig Würfels) gilt als Faustregel (Heuristik), dass jeweils rund (!) ein Drittel der möglichen Ergebnisse genau mehrfach, einfach oder überhaupt nicht zu erwarten sind. Dies wird spezifisch auch als „Zwei-Drittel-Gesetz“ bezeichnet.

Aus dem „Gesetz der kleinen Zahlen“ lässt sich aber auch ableiten, dass bei seltenen Ereignissen mit „Clustern“ zu rechnen ist, also dass sich auch vergleichsweise seltene Ereignisse unter bestimmten Umständen gehäuft auftreten können.

Bei genau 37 Runden eines (vereinfachten) Roulette-Spiels (mit genau ¹/₃₇ Gewinnchance für jede mögliche Zahl) kann man erwarten, dass die verschiedenen möglichen Ergebnisse (Zahlen von 0 bis 36) wie folgt verteilt auftreten:

Auch hier lässt sich mit diesem Wissen nicht vorhersehen, welche der Zahlen häufiger fallen werden.

Bei einer Schultombola werden Lose mit einer Gewinnchance von 1:10 verkauft. Um vermeintlich sicher einen Gewinn zu erzielen, kauft A genau 10 Lose.

Tatsächlich liegt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der 10 gekauften Lose ein Gewinn ist, „nur“ bei rund ⅔. Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund ⅓ sind sogar zwei oder mehr Gewinne dabei, dafür hat A mit einer Wahrscheinlichkeit von ebenfalls rund ⅓ ausschließlich Nieten gekauft.

• Erwartungswert
• Gesetz der großen Zahlen
• Heuristik

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