Spielerfehlschluss

Die Verwechs­lung der Wahr­schein­lich­keit für ein un­ab­häng­iges Er­eig­nis mit der Gesamt­wahr­schein­lich­keit für mehr­ere ab­häng­ige Ereig­nisse.

Beispiel:

Eine geworfene Münze zeigte dreimal hintereinander „Kopf“.
Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim nächsten Wurf „Zahl“ erscheint, überproportional hoch.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer fairen Münze ein zukünftiger Münz­wurf ent­weder Kopf oder Zahl zum Er­geb­nis hat, ist je­weils genau ½, also 50 %.

Was aber leicht vergessen wird: die Wahr­schein­lich­keit, dass ein bereits erfolgter Münz­wurf ein be­stimmtes Er­gebnis hat, ist je nach­dem, was dieses Ergebnis war, entweder 0 oder 1. Haben wir also „Kopf“ geworfen, ist die Wahr­schein­lich­keit, doch noch „Zahl“ zu werfen, genau 0 – zu­mindest so­lange wir keine Zeit­reisen er­funden haben.

Entsprechend kann man sagen, dass die Wahr­schein­lich­keit, dass vier zukünftige Münz­würfe eine Serie von z.B. vier­mal „Kopf“ ergeben, von ½·½·½·½ = (½)⁴ = ¹⁄₁₆ = 6,25 %, also eine relativ geringe Wahr­schein­lich­keit.

Allerdings geht es hier nicht um vier zukünftige Münzwürfe, sondern um den vierten Wurf, nachdem wir die Ergebnisse der ersten drei bereits kennen. In diesem Fall ergibt sich die Wahr­schein­lich­keit, dass der vierte Münz­wurf Kopf ergibt, aus: 1·1·1·½ = ½ = 50 %, also genau dasselbe wie bei einem einzelnen Münzwurf.

Mit anderen Worten: die drei bereits erfolgten Münz­würfe haben auf den vierten überhaupt keinen Einfluss.

Der Denkfehler besteht darin, dass die Wahr­schein­lich­keit des Ge­samt­er­eig­nisses (vier identische Münz­würfe) mit dem des Teil­er­eig­nisses (das Er­gebnis des nächsten Münz­wurfes) ver­wech­selt wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Asteroid in der Größenordnung wie der, der zur Ausrottung der Dinosaurier führte, auf der Erde einschlägt, wird auf etwa 1 zu 50 bis 60 Millionen pro Jahr geschätzt. Das heißt, dass ein solches Ereignis im Durchschnitt alle 50 bis 60 Millionen Jahre zu erwarten wäre.

Der letzte große Einschlag – nämlich der, der den Dinosauriern zum Verhängnis wurde – liegt etwa 66 Millionen Jahre zurück, also deutlich länger als der Erwartungswert.

Man könnte nun davon ausgehen, dass ein solcher Asteroid „überfällig“ wäre, also quasi jederzeit auftauchen müsste. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Jahr ein entsprechender Himmelskörper einschlägt, immer noch eins zu 50 bis 60 Millionen. Die „Wartezeit“ hat hierauf keinen Einfluss, genauso wenig, wie die vorherigen Würfelergebnisse einen Einfluss auf den nächsten Wurf haben.

Ähnliches gilt auch für andere, angeblich „überfällige“ Naturereignisse, wie etwa der Ausbruch des Yellowstone-Vulkans oder ein Polsprung des Erdmagnetfeldes.

• Gambler’s fallacy
• Monte Carlo fallacy
• Maturity of the Chances (fallacy)

• Apophänie
• Gesetz der großen Zahlen
• Glückssträhne
• Umgekehrter Spielerfehlschluss

• Spielerfehlschluss auf Wikipedia
• Gambler’s Fallacy auf Logically Fallacious (Englisch)
• Gambler's fallacy auf RationalWiki (Englisch)
• The Gambler's Fallacy auf Fallacy Files (Englisch)