Quantile

Bezeichnet eine Reihe von Maß­zahlen, durch welche eine Folge von Daten in einem be­stimmten Ver­hält­nis ge­teilt werden.

Das bekannteste und am häufigsten benutzte Quantil ist der Median, der die Daten in zwei gleich große Gruppen teilt.

Der Begriff „Quantil“ hat hierbei zwei Be­deut­ungen: zum einen ist es der Sammel­begriff für die hier auf­gezählten Maße, zum anderen ist es auch die Be­zeich­nung für ein – aller­dings eher selten be­nutztes - Maß, das auch auf dieser Seite weiter unten be­schrieben wird.

Die Perzentile teilen die Daten in 100 Teile, auf die man sich dann nach ihrer Nummerierung beziehen kann – so entspricht etwa das 42. Perzentil dem Wert, der größer oder gleich 42 % der Daten ist und kleiner oder gleich 58 %.

Perzentile werden gewöhnlich mit einem P gefolgt von der tief gestellten Prozent­zahl bezeichnet (allerdings ohne Prozent­­zeichen), also z.B. P₁₂ oder P₃₄.

Die Dezile (von Lat. decem = zehn) teilen die Daten in 10 Teile auf, dabei entspricht das erste Dezil dem 10. Perzentil und das neunte dem 90.

Die Quartile teilen die Daten in 4 gleich große Gruppen. Dabei entspricht das erste Quartil dem 25. Perzentil und das dritte Quartil dem 75. Perzentil. Das zweite Quartil wird selten gebraucht, da dies genau dem Median entspricht (s.u.).

Der Median ist der Wert, der die Daten in zwei gleich große Teilmengen teilt. Er entspricht dem 50. Perzentil und dem zweiten Quartil.

Er hat eine besondere Bedeutung als Mittelwert, weswegen ihm dort ein eigener Artikel gewidmet ist (siehe ⁠Me­dian).

Seltener in Gebrauch sind Quintile, welche die Daten in fünf gleiche Teile untergliedern (je 20 % der Daten)

Noch seltener findet man Terzile, welche drei Gruppen mit jeweils einem Drittel der Daten bilden.

Gelegentlich benutzt man auch direkt die Bezeichnung Quantil zusammen mit einer Komma­zahl, welche den Teiler bezeichnet (z.B. das „0,34-Quantil“). In dieser Schreib­weise bezeichnen z.B. das 12. Perzentil (P₁₂) und das 0,12-Quantil (Q_0,12) beide die gleiche Unterteilung.

Je klein­teiliger die Quantile sind und je weniger Daten­punkte zur Ver­fügung stehen, desto schwieriger wird es, einen sinn­vollen Wert zu be­stimmen. Schon beim Median hat man bei einer geraden Anzahl von Werten das Problem, dass sich der korrekte Median irgend­wo zwischen den beiden mittleren befindet (übliche­rweise nimmt man das arith­met­ische Mittel aus den beiden Werten, auch wenn dies streng mathe­matisch eigent­lich nicht mög­lich wäre).

Bei Perzentilen (mit 100 Unter­teil­ungen) kann es leicht passieren, dass nicht genügend Daten­punkte vor­liegen, um zwischen zwei auf­ein­ander folg­enden Werten zu unter­scheiden (z.B. wenn sowohl das 42. als auch das 43. Per­zentil zwi­schen den selben zwei Daten­punkten zu finden wären).

Aber auch schon bei Terzilen kann dies prob­le­mat­isch sein. Hat man z.B. genau 5 Daten­punkte, ist es prakt­isch un­mög­lich, diese gleich­mäßig auf die drei Be­reiche auf­zu­teilen. Das gleiche gilt auch für andere Quantile – prin­zip­iell umso stärker, je klein­teiliger die Auf­teilung ist.

• Quantilabstände

• Empirisches Quantil auf Wikipedia