Aufwärts- bzw. Abwärts-Implikation (Logik)

Generalisierte Begriffsqualitäten, welche den Bezug auf die hierarchische Ordnung in einem Kategoriensystem widerspiegeln.

• Monotonie
• Upward/downward entailment

• Verteilung (für „Abwärts-Implikation“)

Begriffe, die ein Objekt in einer hierarchischen Kategorienordnung beschreiben, können je nach Kontext auch die in dieser Hierarchie darüber bzw. darunter liegenden Ebenen implizieren. Diese Qualität kann sich je nach Kontext verändern.

Zum Beispiel in der Aussage:

Alle Katzen sind Säugetiere.

Sowohl „Katzen“, als auch „Säugetiere“ sind Begriffe, welche sich auf die biologische Systematik (Taxonomie) von Lebewesen beziehen. Hierbei sind „Katzen“ als Untergruppe von „Säugetieren“ definiert, wodurch diese Aussage zwangsläufig wahr ist.

In der Form dieser Aussage (eine kategorische Aussage von Typ A, also ein positiver Allsatz) sind Subjekt (hier: „Katzen“), als auch Prädikat (hier: „Säugetiere“) auf unterschiedliche Weisen Implikativ mit Bezug auf die anderen Elemente dieser Hierarchie:

In der Aussage „Alle Katzen sind Säugetiere“ ist das Subjekt (hier: „Katzen“) abwärts-Implikativ. Das heißt, die Aussage impliziert auch alle Untergruppen von Katzen. So können wir zum Beispiel ableiten:

• Alle Siamkatzen sind Säugetiere.
• Alle Langhaarkatzen sind Säugetiere.
• Unser Hauskater ist ein Säugetier.
• u.s.w.

Dies gilt jedoch nicht für das Prädikat. Wir können nicht ableiten:

• Alle Katzen sind Beutelsäuger.
• Alle Katzen sind Paarhufer.
• Alle Katzen sind Hunde.
• u.s.w.

In diesem Fall ist Abwärts-Implikation gleichbedeutend mit dem Konzept der Verteilung im Rahmen der syllogistischen Logik.

Umgekehrt können wir das Prädikat der obigen Aussage jedoch durch breitere Kategorien ersetzen:

• Alle Katzen sind Feliformia.
• Alle Katzen sind Wirbeltiere.
• Alle Katzen sind Lebewesen.
• u.s.w.

Eine solche Erweiterung des Begriffes ist dagegen für das Subjekt hier nicht möglich. Die folgenden Beispiele sind alle ungültig (und auch falsch):

• Alle Wirbeltiere sind Säugetiere.
• Alle Lebewesen sind Säugetiere.

In Anlehnung an die logischen Symbolen für Konditionalaussagen (auch „Implikationen“ genannt), werden nach oben bzw. nach unten gerichtete Pfeilsymbole benutzt:

• Aufwärts-Implikation: ⇑ oder ↑.
• Abwärts-Implikation: ⇓ oder ↓.

• Verteilung

• Monotonie (Logik) auf Wikipedia
• Distribution (Logik) auf Wikipedia