Ein scheinbares Paradox der Erkenntnistheorie, welches die Frage aufwirft, unter welchen Bedingungen Beobachtungen eine allgemeine Hypothese eigentlich bestätigen.
Im Rahmen der Themen dieser Website ist dieses Paradox darüber hinaus interessant, da es auch ein Problem der Äquivalenz von logischen Aussageformen aufzeigt, welches ansonsten nur schwer zu greifen wäre.
Das ursprünglich von Carl Gustav Hempel in den 1940er Jahren formulierte Paradox geht zunächst von der folgenden, auf den ersten Blick harmlosen Aussage aus:
Alle Raben sind schwarz. (A ⟶ B)
Es handelt sich hierbei um einen positiven Allsatz, oder je nach Sichtweise, um eine positive Konditionalaussage. Zunächst interessiert uns aber weniger die logische Form, sondern vielmehr die Frage, wie wir erkennen können, ob diese Aussage wahr ist, also aufgrund welcher Informationen wir bestätigen können, dass tatsächlich alle Raben schwarz sind.
Ideal wäre es natürlich, wenn wir einfach alle Raben einsammeln könnten, um zu schauen, ob sie denn wirklich alle schwarz sind. Das ist aber schon bei wild lebenden Vögeln zumindest sehr schwierig, bei vielen anderen Dingen, auf die sich solche Aussagen beziehen können, kann es auch völlig unmöglich sein. Wir brauchen also einen anderen Ansatz.
Schauen wir uns stattdessen einfach nur Raben an, denen wir mehr oder weniger zufällig begegnen: Je mehr schwarze Vögel wir dabei zu zu sehen bekommen, desto wahrscheinlicher wird es, dass die Allaussage tatsächlich wahr ist. Umgekehrt reicht aber schon ein einziges nicht-schwarzes Individuum aus, um die Aussage zu widerlegen. Sollte ein solches Tier existieren, wäre die Allaussage widerlegt und damit falsch.
Mit anderen Worten: Jeder schwarze Rabe, den wir beobachten können, stärkt die Hypothese, dass die Aussage „Alle Raben sind schwarz“ tatsächlich wahr ist.
Als zweiten Schritt nehmen wir nun die obige Aussage und formen sie mittels einer Kontraposition, bzw. eines Modus Tollens in eine äquivalente negative Aussage um:
Wenn etwas nicht schwarz ist, dann ist es kein Rabe. (⌐B ⟶ ⌐A)
Diese Umformung ist gültig und die beiden Aussagen sind auch tatsächlich logisch äquivalent, d.h., beide Aussagen haben unter allen Umständen denselben Wahrheitswert.
Hempel argumentiert nun, dass sich daraus ergibt, dass auch jede Beobachtung von nicht-schwarzen Nicht-Raben – also zum Beispiel ein gelbes Postauto oder eine blaue Vase – die originale Aussage stützen müsse, dass alle Raben schwarz seien.
Das werden die meisten sicher erst einmal zurückweisen und die Sichtung von „Nicht-Raben“ intuitiv als nicht relevant für die Frage ansehen, ob tatsächlich alle Raben schwarz seien. Aus Sicht der Logik ist es aber zunächst einmal korrekt: Wenn beide Aussagen logisch äquivalent sind, müssen die Schlüsse, die daraus gezogen werden können, auch dieselben sein.
Eine bekannte Erwiderung auf Hempels Paradox zielt darauf ab, dass die beiden Aussagen zwar logisch äquivalent sind, sich aber auf unterschiedliche Gesamtheiten beziehen, wodurch die Stichprobengröße relevant wird.
Anders gesagt, man kann zugestehen, dass die Sichtung von nicht-schwarzen Nicht-Raben die Aussage „Alle Raben sind schwarz“ zwar in der Tat unterstützt, aber aufgrund der immens größeren Menge von Nicht-Raben im Universum gegenüber einer überschaubaren Zahl von Raben, ist diese Unterstützung infinitesimal klein, sodass die Relevanz einer solchen Sichtung in der Tat praktisch keine Relevanz hat.
Diese Erwiderung löst das Problem nicht vollständig – man kann sich leicht Aussagen vorstellen, bei denen sich eine Negation tatsächlich eine kleinere Gesamtmenge bezieht, etwa: „Alle Atome sind klein“ – aber sie weist darauf hin, dass die beiden Aussageformen auch wenn sie formell logisch äquivalent sind, dennoch unterschiedliche Eigenschaften haben können, die in bestimmten Situationen relevant werden können.
Auch wenn verschiedene logische Aussageformen voneinander abgeleitet werden können – nicht nur, aber ganz besonders, wenn sie wie in Hempels Paradox sogar vollkommen logisch äquivalent sind – gibt es doch immer wieder Unterschiede. Werden diese ignoriert, kann es zu unerwarteten Ergebnissen kommen.
Einige der unterschiedlichen Eigenschaften von Aussageformen, insbesondere von kategorischen Aussagen, sind in der Logik gut dokumentiert. Dazu zählt beispielsweise, ob Begriffe verteilt sind, oder ob eine Aussageform Existenz impliziert. Andere Aspekte ergeben sich dagegen erst aus der spezifischen Anwendung.
Das spezifische logische Problem hier besteht im Unterschied zwischen den Erkenntnissen, die sich aus negativen und positiven Allsätzen ableiten lassen. Dieser Unterschied klingt zwar in mehreren bekannten logischen Fehlschlüssen auch schon an (siehe zum Beispiel den Fehler der exklusiven Prämissen), er ist aber bei weitem nicht so formalisiert wie etwa die Aspekte Verteilung und Existenzimplikation.
Ein weiterer wichtiger Aspekt, den man leicht übersieht: Tatsächlich sind nicht alle Raben schwarz! Neben selten auftretenden Albinoformen gibt es auch Exemplare, die aus verschiedenen Gründen ein eher graues oder rötlich-braunes Federkleid haben. Diese Ausnahmen mögen selten sein, aber wenn wir tatsächlich eine strikte Auslegung der Logik anwenden wollen, dann genügt auch schon ein einziges Gegenbeispiel um die Allaussage zu widerlegen1).
Wir sehen aber auch schon in gut dokumentierten Logikfehlern (siehe z.B. den Fehler der eliminativen Induktion), dass logische Methoden, die innerhalb von formalen Systemen gut funktionieren, an der Komplexität der Realität scheitern können, wenn sie unkritisch darauf übertragen werden. Es ist gut denkbar, dass Hempel hier „nur“ ein gutes Beispiel für eine ähnliche Problematik gefunden hat.
Es wäre also zumindest überlegenswert, ob eine allzu strikte Anwendung der Logik in solchen Fällen wirklich der richtige Ansatz ist. Zumindest in realen Situationen – also außerhalb von Gedankenexperimenten – sollte man einen pragmatischen Ansatz wählen und bereits bei der Ausgangsaussage der Komplexität der Situation gerecht werden. Eine Formulierung wie: „Kolkraben sind typischerweise schwarz“ beschriebe in diesem spezifischen Fall nicht nur die Realität besser, sondern vermeidet auch die Versuchung, Methoden der Aussagenlogik außerhalb ihres Anwendungsbereiches anzuwenden, wo sie zu unerwarteten (und womöglich unrealistischen) Ergebnissen führen können.