Tautologie (Logik)

In der Logik bezeichnet man als Tautologie eine Aussage, die notwendig wahr ist.

Das folgende Beispiel ist direkt aus einer bekannten Bauernregel entnommen:

⊤: Entweder ändert sich das Wetter, oder es bleibt wie es ist.

Da es keinen dritten Zustand neben „sich ändern“ und „sich nicht ändern“ geben kann, ist die obige Aussage notwendig wahr, d.h. es ist keine Situation vorstellbar, in der die Aussage falsch sein könnte.

Jede Aussage, die unabhängig von äußeren Umständen immer wahr ist, wird als Tautologie bezeichnet.

Die folgenden logischen Formeln sind solche Tautologien, da sie niemals falsch sein können:

⊤: $A\; \vee \; ⌐A$   (A oder nicht A)
⊤: $A\; \to \; A$   (wenn A dann A)

Dasselbe gilt für alle (korrekten) mathematischen Gleichungen oder auch Ungleichungen, etwa:

⊤: $2\; +\; 3\; =\; 5$
⊤: $x²\; \ge \; 0$
⊤: $¹⁄$_x ≠ 0

In allen diesen Fällen ist die Aussage zwangsläufig wahr.

Tautologien können auch in Definitionen versteckt sein, z.B. ist die folgende Aussage tautologisch:

⊤: Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie durch 2 teilbar.

Da die Teilbarkeit durch 2 eine mögliche Definition von geraden Zahlen darstellt und damit Antezedenz und Konsequenz Synonyme sind.

Das Gegenteil einer Tautologie ist eine Kontradiktion (Widerspruch). Dabei handelt es sich um eine Aussage, die notwendig falsch ist.

Keine Tautologien sind Aussagen, die nur aufgrund von Erfahrungen als immer wahr bekannt sind. Zum Beispiel:

Die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum beträgt 299 792 458 ^m⁄_s.

Da es sich bei der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum um eine Naturkonstante handelt, ist die Aussage auf­grund der physikalischen Gesetze immer wahr. Dies lässt sich jedoch nicht aus den Gesetzen der Logik her­leiten.

Tautologische Aussagen sind prinzipiell nicht als Prämissen für irgendeine Schluss­form erlaubt. Auch im Schluss­satz kann man aus einer dort auf­treten­den Tautologie nur herauslesen, dass es irgendwo einen Fehler geben muss (was dann aber genau zum Beweis der Un­gültig­keit einer Aus­sage her­an­ge­zogen werden kann).

Der Begriff „Tautologie“ wird neben der Logik auch in der Mathematik und von den Sprachwissenschaften in anderen Bedeutungen verwendet.

Auf dieser Site wird das logische Symbol ⊤ für Tautologien verwendet. Da jede Tautologie inhärent immer wahr ist, kann sie auch durch den Ausdruck „wahr“ bzw. den äquivalenten Ausdruck im je­weiligen Formalsystem (z.B. 1 in der boole­schen Logik) ersetzt oder beschrieben werden.

Da das Symbol ⊤ dem Buchstaben „T“ ähnelt, wird es meist einfach als „Tau­to­logie“ ausgesprochen. Manch­mal wird auch der Begriff „verum“ (Lat.: „wahr“) dafür benutzt.

Seltener sieht man das ⊨ Symbol in derselben Bedeutung. Von der Ver­wend­ung ist aber abzuraten, da dieses Symbol auch mit der Bedeutung „Im­pli­ka­tion“ (☞ Sub­junk­tion) verwendet wird.

• Kontradiktion
• Leere Wahrheit
• Petitio Principii
• Zirkelschluss

• Tautologie auf Wikipedia
• Tautologie auf Mathe für Nicht-Freaks