Harmonisches Mittel

Methode zur Ermittlung eines Mittelwertes, der vor allem wichtig ist für die Mittelung von Indexzahlen (z.B. „km/h“, „Einwohner/km²“, etc.) auf Basis der Zähler-Maßeinheit (z.B. hier „km“, „Einwohner“).

Das harmonische Mittel entspricht dem Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte der Ausgangsdaten.

Zur Berechnung wird die Anzahl der Werte durch die Summe der Kehrwerte aller Daten geteilt. Als Formel sieht das wie folgt aus:

$${\bar{x}}_{''harm''}=\frac{n}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{1}{x_i}}$$

Oder anders dargestellt:

$${\bar{x}}_{''harm''}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$$

Das harmonische Mittel sollte immer dann angewendet werden, wenn Verhältniswerte zu mitteln sind. Beispiel für Verhältniswerte sind Geschwindigkeitsangaben (z.B. in km/h), oder Bevölkerungsdichte (z.B. in „Einwohner pro km²“). Typisch für diese ist es, dass die Maßeinheit einen Bruch enthält (dargestellt durch einen Teilungsstrich bzw. ein Wort wie „pro“ oder „per“); Somit gibt es eine Maßeinheit im Zähler (hier „Kilometer“ bzw. „Einwohner“) und eine im Nenner (hier „Stunden“ bzw. „km²“).

Um das harmonische Mittel anwenden zu können muss aber noch eine weitere Bedingung erfüllt sein: da nur der Wert, welcher der Maßeinheit im Zähler entspricht in die Formel übernommen wird (siehe Beispiele), muss der Wert in der Nenner-Maßeinheit steht, konstant sein.

Ist diese Bedingung nicht erfüllt, muss stattdessen ein gewichtetes harmonisches Mittel verwendet werden. Dies kann u.a. dadurch geschehen, dass die Werte weiter aufgeteilt werden, bis die Nennermaße alle identisch sind (siehe auch hierzu die Beispielrechnungen unten).

Auch bei Verhältnismaßeinheiten sollte das harmonische Mittel nicht benutzt werden, wenn die Daten auf der Grundlage der Einheit vorliegen, die im Verhältnismaß im Nenner steht.

Beispiel: Geschwindigkeiten werden in verschiedenen Maßen dargestellt, die alle ein Entfernungsmaß im Zähler und ein Zeitmaß im Nenner enthalten (z.B. „km/h“ oder „m/s“). Werden die Werte nicht auf Grundlage des Entfernungsmaßes (hier „km“ oder „m”) gemittelt werden, sondern auf der der Zeiteinheit (hier “Stunden” bzw. “Sekunden”), ist statt des harmonischen das arithmetische Mittel das geeignete Maß.

Ein Auto fährt eine Strecke von 10 km mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h. Auf dem Rückweg fährt es die gleiche Strecke, aber mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h.

Aus den Zahlen können wir ermitteln, dass für die beiden Teilstrecken jeweils 15 Minuten und 10 Minuten benötigt werden, für die Gesamtstrecke also 25 Minuten.

Um eine Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Strecke zu ermitteln, läge es zu nächst nahe, es mit dem arithmetischen Mittel zu versuchen. Dieses beträgt in diesem Fall 50 km/h.

Allerdings benötigt man für eine Strecke von 20 km bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h genau 24 Minuten. Das arithmetische Mittel ist hier also nicht die richtige Wahl.

Stattdessen benutzt man hier das harmonische Mittel. Da die Kilometerzahl (die Zählereinheit in „km/h“) hier identisch ist, benötigt man keine Gewichtung; Die Berechnung sieht daher wie folgt aus:

Und tatsächlich entspricht eine Fahrt von 20 km bei einer Geschwindigkeit von 48 km/h genau einer Fahrzeit von 25 Minuten.

In diesem Beispiel ist wiederum ein Fahrzeug gegeben, diesmal werden aber zwei unterschiedliche Strecken gefahren: zunächst wieder 10 km mit 40 km/h, dann weitere 20 km mit 60 km/h.

Da sich diesmal die Kilometerzahlen unterscheiden, müssen die Werte in diesem Fall gewichtet werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie man das tun kann (einschließlich diverse recht komplexer Formeln, in die man die Werte einfach einträgt). Am intuitivsten ist aber wahrscheinlich die folgende Methode:

Man kann die Strecken ja jederzeit in mehrere Teilstrecken aufteilen, mit denen die Berechnung ein­facher ist. Sinnvollerweise sucht man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und teilt alle Strecken­abschnitte in solche auf.

In diesem Fall ist der ggT von 10 und 20 ganz einfach 10, was die Berechnung einfach macht: anstatt zweier Streckenabschnitte von 10 und 20 km nimmt man einfach drei mit jeweils 10 km an, d.h. der zweite, längere Abschnitt wird in zwei gleiche Teilabschnitte aufgeteilt.

Die Geschwindigkeiten ändern sich dadurch ja nicht: auf den ersten 10 km ist der Wagen immer noch 40 km/h gefahren und auf den beiden anderen sind es immer noch 60 km/h. Als Formel sieht das dann entsprechend wie folgt aus:

Das etwas krumme Ergebnis von ca. 51,42… km/h entspricht genau der tatsächlichen Fahrzeit von 35 Minuten für die gesamten 30 km.

• Irreführender Mittelwert
• Arithmetisches Mittel
• Geometrisches Mittel

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