====== Gesetz der kleinen Zahlen ======

Beschreibt als eine [[begriffe:heuristik|Heu­ristik]] für die [[mathematik:stochastik:begriffe:erwartungswert|Er­wart­ungs­werte]] der Ver­teil­ung der Er­geb­nisse von zu­fäl­ligen, von­ein­ander un­ab­häng­igen Er­eig­nis­sen bei nur //wenigen// Er­eig­nis­sen.

Demnach tritt bei genau so vielen Zu­falls­ereig­nis­sen wie es Aus­gangs­mög­lich­keiten gibt, jeweils etwa ein Drit­tel der mög­lichen Er­geb­nisse //gar nicht,// genau //ein­mal// oder //mehr­fach// ein.

Beispiel:

> Wird ein (fairer, sechs­seitiger) Würfel genau 6× ge­worfen, ist es relativ un­wahr­schein­lich (nur 5:324 oder ca. 1,5 %), dass jede Augen­zahl gleich oft ge­würf­elt wird. Statt­des­sen ist zu er­warten, dass zwei der mög­lichen Augen­zahlen genau //ein­mal//, zwei weitere je­weils //zwei­mal// und die ver­bleib­enden zwei //über­haupt nicht// er­scheinen.

Dies steht im Gegen­satz zum sog. „[[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:hauptseite|Gesetz der großen Zahlen]]“, nach dem bei //sehr vielen// Würfen alle mög­lichen Augen­zahlen an­nähernd gleich oft zu erwarten sind.

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**Hinweis:** Die hier beschriebene Wahr­schein­lich­keits­heu­ristik sollte nicht mit dem Phä­no­men ver­wechs­elt werden, dass viele Menschen die Folgen //sehr selt­ener// Er­eig­nisse sys­tem­at­isch falsch ein­schätzen, was auch manch­mal (fälsch­lich) als „Gesetz der kleinen Zahlen“ be­zeichnet wird. Siehe hierzu <span maniculus "Weitere Informationen im folgenden Artikel::"> [[mathematik:statistik:analysefehler:praevalenzfehler:bayes-falle|Bayes-Falle]]</span>.
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===== Andere Namen =====

  * Zwei-Drittel-Gesetz
  * Gesetz des Drittels

===== Beschreibung =====

Bei voneinander unabhängigen Zufallsereignissen können in jeder neuen Runde alle möglichen Werte wieder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erneut auftreten. Daraus ergibt sich zum einen, dass diese bei sehr vielen Wiederholungen zunehmend gleich häufig auftreten (<span maniculus "siehe hierzu den folgenden Artikel::">[[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:hauptseite|Gesetz der großen Zahlen]]</span>), aber eben auch, dass es eher unwahrscheinlich ist, dass dies bereits bei sehr wenigen Ereignissen auftritt.

Bei genau so vielen Ereignissen wie es Möglichkeiten gibt (also z.B. genau sechs Würfen eines sechs­sei­tig Würfels) gilt als //Faustregel// (<span maniculus "eine „Faustregel“ ist eine Form von Heuristik; Mehr hierzu unter:">[[begriffe:heuristik|Heuristik]]</span>), dass jeweils rund (!) ein Drittel der möglichen Ergebnisse genau //mehrfach//, //einfach// oder //überhaupt nicht// zu erwarten sind. Dies wird spezifisch auch als „Zwei-Drittel-Gesetz“ bezeichnet.

Aus dem „Gesetz der kleinen Zahlen“ lässt sich aber auch ableiten, dass bei seltenen Ereignissen mit „<i :en>Clustern</i>“ zu rechnen ist, also dass sich auch vergleichsweise seltene Ereignisse unter bestimmten Umständen gehäuft auftreten können.

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**Hinweis:** Leider sagt diese Regel nichts darüber aus, //welche// der möglichen Ergebnisse häufiger auftreten werden als die anderen. Für den Aufbau einer Gewinn versprechenden Spielstrategie ist das „Gesetz der kleinen Zahlen“ daher nicht zu gebrauchen.
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===== Weitere Beispiele =====
==== Roulette ====

Bei genau 37 Runden eines (vereinfachten) Roulette-Spiels (mit genau <sup>1</sup>/<sub>37</sub> Gewinnchance für jede mögliche Zahl) kann man erwarten, dass die verschiedenen möglichen Ergebnisse (Zahlen von 0 bis 36) wie folgt verteilt auftreten:

^ Erscheinen ^  in Prozent ^  Absolut ^
| gar nicht |  36,3 % |  13,4|
| einmal |  37,3 % |  13,8|
| mehrfach |  26,3 % |  9,7|

Auch hier lässt sich mit diesem Wissen nicht vorhersehen, //welche// der Zahlen häufiger fallen werden.

==== Tombola ====

Bei einer Schultombola werden Lose mit einer Gewinnchance von 1:10 verkauft. Um vermeintlich sicher einen Gewinn zu erzielen, kauft A genau 10 Lose.

Tatsächlich liegt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der 10 gekauften Lose ein Gewinn ist, „nur“ bei rund ⅔. Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund ⅓ sind sogar zwei oder mehr Gewinne dabei, dafür hat A mit einer Wahrscheinlichkeit von ebenfalls rund ⅓ ausschließlich Nieten gekauft.

===== Siehe auch =====

  * [[mathematik:stochastik:begriffe:erwartungswert|Erwartungswert]]
  * [[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:hauptseite|Gesetz der großen Zahlen]]
  * [[begriffe:heuristik|Heuristik]]

===== Weitere Informationen =====

  * [[wpde>Gesetz der kleinen Zahlen]] auf //Wikipedia//

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