====== Gesetz der großen Zahlen ======

Der Begriff „Gesetz der großen Zahlen“ bezeichnet die Tendenz, dass die Ergebnisse zufälliger Ereignisse, wenn diese sehr häufig wiederholt werden, nach bestimmten, vorhersehbaren Verteilungen hin konvergieren.

Beispiel:
> Wird ein (fairer) Würfel sehr oft geworfen, erscheint jede mögliche Zahl von Augen (1 bis 6) zunehmend ähnlich häufig.

(übrigens ist die obige Aussage [[begriffe:tautologie|tautologisch]], da ein Würfel genau dann als „fair“ bezeichnet wird, wenn er so gestaltet ist, dass jede Zahl möglichst ähnlich häufig erscheint)

===== Beschreibung =====

Voneinander unabhängige Zufallsereignisse, die mit einer bekannten Wahrscheinlichkeit eintreten, tendieren bei sehr häufiger (im Zweifelsfall: //unendlicher//!) Wiederholung dazu, entsprechend dieser Wahrscheinlichkeit verteilte Ergebnisse zu erzielen.

Anders gesagt: wenn die Zahl der Wiederholungen gegen unendlich geht, tendiert der Druchschnittswert der Ereignisse zum statistischen [[mathematik:stochastik:begriffe:erwartungswert|Erwartungswert]].

==== Regression zur Mitte ====

Eine Variante des //Gesetzes der großen Zahlen// ist das Gesetz der „[[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:regression_zur_mitte|Re­gres­sion zur Mitte]]“. Dieses besagt, dass um einen zen­tralen Er­wart­ungs­wert vari­ierende (z.B. [[mathematik:stochastik:begriffe:normalverteilung|normal­ver­teilte]]) Merk­male, auch nach einem „Aus­reißer“ nach oben oder unten, eher wieder zum Er­wart­ungs­wert zu­rück tendieren.

Betrachten wir noch einmal eine Folge von Würfel­spielen: der zu er­wart­ende Durch­schnitts­wert der Augen­zahlen bei sehr vielen Würfen wäre ''(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = **3,5**''. Aus dem //Gesetz der großen Zahlen// ergibt sich, dass sich bei einer großen Zahl von Würfen ein Durch­schnitts­wert von ''3,5'' ein­pendeln müsste.

Das Gesetz der //Regression zur Mitte// besagt nun, dass sich dieser Er­wart­ungs­wert auch dann nicht ver­ändert, wenn nun in einer Würfel­runde //zufällig// ein höherer Durch­schnitts­wert er­würf­elt wurde. Für die nächsten Runden ist trotz­dem wieder zu er­warten, dass ein durch­schnitt­licher Augen­wert von ''3,5'' er­würf­elt wird, dass die Würfel­folge also wieder zu ihrem [[mathematik:stochastik:begriffe:erwartungswert|Er­wart­ungs­wert]] //zu­rück­kehrt//.

Mehr hierzu: <span maniculus "gehe zu:">[[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:regression_zur_mitte|Regression zur Mitte]]</span>.

==== Spielerfehlschluss ====

Aus dem „Gesetz der großen Zahlen“ lässt sich ausdrücklich //nicht// ableiten, dass ein Er­gebnis, das bis­her seltener als er­wartet auf­ge­treten ist, diesen Rück­stand irgend­wie auf­holen //müsse// und daher in Zu­kunft häufiger er­scheinen wird. Bei von­einander un­ab­hängigen Er­eig­nissen haben vor­herige Er­gebnisse nach wie vor keinen Einfluss auf zu­künftige.

Die (fälschliche) Annahme, es müsse einen solchen Aus­gleich geben, ist gerade bei Glücks­spielern weit ver­breitet und wird daher auch [[mathematik:stochastik:wahrscheinlichkeitsirrtuemer:spielerfehlschluss:hauptseite|Spieler­fehl­schluss]] genannt.

===== Siehe auch =====

  * [[mathematik:stochastik:begriffe:erwartungswert|Erwartungswert]]
  * [[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_kleinen_zahlen|Gesetz der kleinen Zahlen]]
  * [[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:regression_zur_mitte|Regression zur Mitte]]

===== Mehr Informationen =====

  * [[wpde>Gesetz der großen Zahlen]] auf //Wikipedia//
  * [[https://mathepedia.de/Gesetz_der_groszen_Zahlen.html|Gesetz der großen Zahlen]] auf //Mathepedia//

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