====== Erwartungswert ======

Beschreibt den Wert, der rein aufgrund der statistischen Wahrscheinlichkeit zu erwarten wäre. 

Beispiel:

> Bei einem <i :en>Multiple-Choice</i>-Test mit jeweils //drei// Antwortmöglichkeiten kann man //erwarten//, dass wenn der Proband die Fragen rein nach dem Zufallsprinzip beantwortet, ein Drittel der Fragen //zufällig// korrekt be­ant­wortet werden.

Der Erwartungswert für einen solchen Test ist daher ⅓. Nur wenn //signifikant// mehr als ein Drittel korrekte Ant­worten gegeben wurden, kann man nicht mehr von rein zufälligen Antworten ausgehen.

===== Andere Namen =====

  * <i :en>Expected value</i>
  * <i :en>Baseline</i>

===== Beschreibung =====

Das Konzept des „zu erwartenden Wertes“ ist wichtige Grundlage dafür, überhaupt erst sagen zu können, ob es ein //[[mathematik:statistik:begriffe:signifikanz|signifikantes]]// Ergebnis gibt oder nicht. Weichen die gemessenen Werte nicht genügend vom Erwartungswert ab, kann man das Ergebnis aus­schließ­lich durch Zufall erklären.

Umgekehrt können wir erkennen, wenn ein //Zufallsgenerator// (z.B. ein Würfel oder ein Münze) „fair“ ist, indem wir überprüfen, ob die gemessenen Werte tatsächlich nahe genug am erwarteten Durchschnittswert liegen.

<aside info>
**Hinweis:** Die Ermittlung des //Erwartungs­wertes// ist nicht immer so trivial wie in dem obigen Beispiel. Da dieser Wert aber extrem wichtig ist, um Daten überhaupt bewerten zu können, wird man oft auf Schätz­ungen und Wahrscheinlichkeiten zurückgreifen müssen. Dies hat dann allerdings auch wieder Aus­wirk­ungen auf den Unsicherheitsfaktor, der sich auf das Ergebnis auswirkt.
</aside>

==== Durchschnittswerte ====

In den meisten Fällen (allerdings nicht immer!) entspricht der Erwartungswert auf die eine oder andere Weise einem [[begriffe:mittelwerte:hauptseite|Mittelwert]], oder kann auf einen solchen abgebildet werden.

Zum Beispiel gilt bei einem (fairen) Würfel, dass wir erwarten würden, dass alle Augenzahlen gleich häufig gewürfelt werden. Um dies als einen einzigen „Erwartungswert“ darzustellen, muss man die  Aufgabe ein wenig umformulieren:

Das [[begriffe:mittelwerte:arithmetisches_mittel|arithmetische Mittel]] aller möglichen Augenzahlen bei einem „normalen“ (6-seitigen) Würfel beträgt: ''(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ∕ 6'' = ''**3,5**''. Anders gesagt: der //Erwartungswert// des //arithmetischen Mittels// der Würfelwerte ist **3,5**.

Wird ein solcher Würfel //sehr häufig// geworfen und von den Ergebnissen ebenfalls das //arithmetische Mittel// errechnet, ist zu erwarten, dass dieser Durchschnitt nahe an diesem Wert liegt (<span maniculus "siehe auch:">[[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:hauptseite|Gesetz der großen Zahlen]]</span>).

===== Siehe auch =====

  * [[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:hauptseite|Gesetz der großen Zahlen]]
  * [[begriffe:mittelwerte:hauptseite|Mittelwerte]]
  * [[mathematik:statistik:begriffe:praevalenz|Prävalenz]]
  * [[mathematik:stochastik:begriffe:gesetz_der_grossen_zahlen:regression_zur_mitte|Regression zur Mitte]]

===== Weitere Informationen =====

  * [[wpde>Erwartungswert]] auf //Wikipedia//
  * [[https://www.statisticshowto.datasciencecentral.com/probability-and-statistics/expected-value/|Expected Value in Statistics: Definition and Calculating it]] auf //Statistics How To// (Englisch)

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