====== Bayes-Theorem ======

Ein Theorem der Wahr­schein­lich­keits­theorie zur Berechnung bedingter Wahr­schein­lich­keiten, benannt nach dem englischen Mathematiker [[wpde>Thomas Bayes]].

===== Andere Namen =====

  * Satz von Bayes
  * <i :en>Bayes’ law</i>

===== Beschreibung =====

Das Bayes-Theorem beschreibt wie absolute und [[mathematik:stochastik:begriffe:bedingte_wahrscheinlichkeit|bedingte Wahr­schein­lich­keiten]] zweier Ereignisse sich zu­ein­ander ver­halten.

Hierin ergibt sich die bedingte Wahr­schein­lich­keit von 𝑨 unter der Vor­aus­setz­ung, dass 𝑩 ein­getreten ist. Hierfür müssen die bedingte Wahr­schein­lich­keit von 𝑩 unter der Vor­aus­setzung, dass 𝑨 ein­getreten ist, sowie die absoluten ([[wpde>A priori|a-priori]]) Wahr­schein­lich­keiten von 𝑨 und 𝑩 bekannt sein.

> {{:mathematik:stochastik:begriffe:bayes.svg|Satz von Bayes}}

Darin ist:
  * <span "Die Wahrscheinlichkeit, dass A, unter der Bedingung, dass B">𝑷 ( 𝐴 | 𝐵 )</span> = Die bedingte Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑨 eintritt unter der Vor­aus­setz­ung, dass Er­eig­nis 𝑩 eigetreten ist
  * <span "Die Wahrscheinlichkeit, dass A, unter der Bedingung, dass B">𝑷 ( 𝐵 | 𝐴 )</span> = Die bedingte Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑩 eintritt unter der Vor­aus­setz­ung, dass Er­eig­nis 𝑨 eingetreten ist.
  * <span "Die a-priori Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt">𝑷 ( 𝐴)</span> = Die <i :la "Lat: von vornherein">a-priori</i> Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑨 eintritt.
  * <span "Die a-priori Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt">𝑷 ( 𝐵 )</span> = Die <i :la "Lat: von vornherein">a-priori</i> Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑩 eintritt.

Alle Wahr­schein­lich­keiten werden als Fließ­komma­zahl zwischen ''0'' (sehr unwahrscheinlich) und ''1'' (sehr wahrscheinlich) in die Berechnung übernommen. Für eine Wahr­­schein­­lich­­keit von 50 % wird also 0,5 eingefügt.

Die einzige Einschränkung dabei ist, dass <span "Die a-priori Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt">𝑷 ( 𝐵 )</span> nicht genau ''0'' sein darf (siehe: [[wpde>Division (Mathematik)#Division_durch_null|Division durch Null]])

==== Bedeutung ====

Das Bayes-Theorem hat sich als einer der wichtigsten Kernsätze der Wahr­schein­lich­keits­rech­nung erwiesen für den es zahlreiche Anwendungsfälle in Statistik (siehe [[wpde>Bayessche Statistik]]) und darüber hinaus gibt.

===== Siehe auch =====

  * [[mathematik:statistik:analysefehler:praevalenzfehler:bayes-falle|Bayes-Falle]]
  * [[mathematik:stochastik:begriffe:bedingte_wahrscheinlichkeit|Bedingte Wahrscheinlichkeit]]
  * [[mathematik:statistik:analysefehler:praevalenzfehler:hauptseite|Prävalenzfehler]]

===== Weitere Informationen =====

  * [[wpde>Satz von Bayes]] auf //Wikipedia//

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