====== Tautologie (Logik) ======

In der Logik bezeichnet man als //Tautologie// eine [[begriffe:aussage|Aussage]], die //notwendig wahr// ist.

Das folgende Beispiel ist direkt aus einer bekannten Bauernregel entnommen:

> <span "Tautologie">''⊤''</span>: //Entweder// ändert sich das Wetter, //oder// es bleibt wie es ist.

Da es keinen dritten Zustand neben „sich ändern“ und „sich //nicht// ändern“ geben kann, ist die obige Aussage //notwendig wahr//, d.h. es ist keine Situation vorstellbar, in der die Aussage //falsch// sein könnte.
===== Beschreibung =====

Jede Aussage, die un­ab­hängig von äuß­eren Um­ständen //immer wahr// ist, wird als Tau­to­logie be­zeichnet.

Die folg­enden log­ischen Formeln sind solche Tau­to­log­ien, da sie //nie­mals falsch// sein können:

> <span "Tautologie">''⊤''</span>: <span math "A oder nicht A">A ∨ ⌐A</span>   (//A oder nicht A//)
> <span "Tautologie">''⊤''</span>: <span math "Wenn A dann A">A ⟶ A</span>   (//wenn A dann A//)

Dasselbe gilt für alle (kor­rekten) mathe­mat­ischen Gleich­ungen oder auch Un­gleich­ungen, etwa:

> <span "Tautologie">''⊤''</span>: <span math "Zwei plus drei ist gleich fünf">2 + 3 = 5</span>
> <span "Tautologie">''⊤''</span>: <span math "X im Quadrat ist größer oder gleich Null">x² ≥ 0</span>
> <span "Tautologie">''⊤''</span>: <span math "Eins geteilt durch X ist ungleich Null">¹⁄<sub>x</sub> ≠ 0</span>

In allen diesen Fällen ist die Aussage //zwangs­läufig wahr//.

Tautologien können auch in De­fi­ni­tionen ver­steckt sein, z.B. ist die folg­ende Aus­sage tau­to­logisch:

> <span "Tautologie">''⊤''</span>: //Wenn// eine Zahl gerade ist, //dann// ist sie durch 2 teilbar.

Da die Teil­bar­keit durch 2 eine mög­liche De­fi­ni­tion von ge­raden Zahlen dar­stellt und damit [[begriffe:antezedenz|Ante­ze­denz]] und [[begriffe:konsequenz|Kon­se­quenz]] Syno­nyme sind.

==== Analytische Aussagen ====

In einem etwas breit­eren Ver­ständ­nis des Be­grif­fes kann man da­rüber hin­aus alle //ana­lyt­ischen Aus­sagen// zu den Tau­to­log­ien zählen. Dies sind Aus­sagen, welche einen Be­griff durch Eigen­schaften be­schreiben, wel­che be­reits in der Begriffs­defi­ni­tion ent­halten sind.

Zum Beispiel:

  * <span "Tautologie">''⊤''</span>: Alle Tulpen sind Blumen.

Zwar sind „Blume“ und „Tulpe“ keine [[begriffe:synonym|Synonyme]], aber zu­mindest so­lange sich der Be­griff auf die Pflanze be­zieht, ist die Eigen­schaft, eine Blume zu sein ein un­trenn­barer Aspekt der Be­griffs­de­fi­ni­tion. D.h. die Aus­sage kann unter keinen Um­ständen //falsch// sein.

==== Gegenteil ====

Das Gegenteil einer //Tautologie// ist eine [[begriffe:kontradiktion|Kontradiktion]] (auch //Widerspruch// oder //Antilogie// genannt). Dabei handelt es sich um eine Aussage, die //notwendig falsch// ist.

==== Abgrenzung ====

//Keine// Tau­to­log­ien sind Aus­sagen, die nur auf­grund von //Er­fahr­ungen// als //immer wahr// be­kannt sind. Zum Beispiel:

> Die Geschwindig­keit des Lichtes im Vaku­um be­trägt 299 792 458 <span "Meter pro Sekunde"><sup>m</sup>⁄<sub>s</sub></span>.

Da es sich bei der Licht­geschwindig­keit im Vaku­um um eine [[wpde>Naturkonstante|Natur­kons­tante]] hand­elt, ist die Aus­sage auf­grund von physi­kal­ischen Ge­setzen //immer wahr//. Dies lässt sich je­doch nicht aus den Ge­setzen der Logik her­leiten.

Die Ab­grenz­ung von solchen //Er­fahr­ungs­aus­sagen// zu den oben ge­nannten „ana­lyt­ischen Aus­sagen“ kann aber in vielen Fällen schwierig bis un­möglich sein.
===== Bedeutung =====

Tautologische Aussagen sind prinzipiell nicht als Prämissen für irgendeine Schluss­form erlaubt. Auch im Schluss­satz kann man aus einer dort auf­treten­den Tautologie nur herauslesen, dass es irgendwo einen Fehler geben muss (was dann aber genau zum Beweis der Un­gültig­keit einer Aus­sage her­an­ge­zogen werden kann).

==== Andere Bedeutungen ====

Der Begriff „Tau­to­logie“ wird in den [[wpde>Sprachwissenschaft|Sprach­wissen­schaften]] in einer and­eren Be­deut­ung ver­wendet. Siehe hier­zu: [[wpde>Tautologie (Sprache)|Tau­to­logie (Sprache)]].
===== Symbole =====

Auf dieser Site wird das logische Symbol <span "Tautologie">''⊤''</span> für Tautologien verwendet. Da jede Tautologie inhärent immer //wahr// ist, kann sie auch durch den Ausdruck „''wahr''“ bzw. den äquivalenten Ausdruck im jeweiligen Formalsystem (z.B. ''1'' in der [[wpde>Boolesche Algebra|booleschen Logik]]) ersetzt oder beschrieben werden.

Da das Symbol <span "Tautologie">''⊤''</span> dem Buchstaben „T“ ähnelt, wird es meist einfach als „Tautologie“ ausgesprochen. Manchmal wird auch der Begriff „<i :la>verum</i>“ (Lat.: „wahr“) dafür benutzt.

Seltener sieht man das <u questionable "Doppel-Drehkreuz">''⊨''</u> Symbol in derselben Bedeutung. Von der Verwendung ist aber abzuraten, da dieses Symbol auch mit der Bedeutung „Implikation“ (<span maniculus "gehe zu:">[[begriffe:konditional|Konditional]]</span>) oder auch für eine //logische Ableitung// verwendet wird.

===== Siehe auch =====

  * [[begriffe:kontradiktion|Kontradiktion]]
  * [[begriffe:leere_wahrheit|Leere Wahrheit]]
  * //[[relevanz:petitio_principii|Petitio Principii]]//
  * [[logik:fehlannahmen:zirkelschluss|Zirkelschluss]]

===== Weitere Informationen =====

  * [[wpde>Tautologie (Logik)|Tautologie]] auf //Wikipedia//
  * [[https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Tautologie|Tautologie]] auf //Mathe für Nicht-Freaks//

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