====== Leermenge (Mathematik) ======

Bezeichnet eine (mathematische) [[wpde>Menge (Mathematik)|Menge]], welche genau ''0'' Elemente enthält.

Zum Beispiel:

> Die Menge aller [[wpde>Einhörner]] (Fabeltiere) ist eine leere Menge.

===== Beschreibung =====

Als „Leer­menge“ oder auch „leere Menge“ be­zeich­net man in der Mathe­matik eine Menge, die keine Ele­mente enthält.

Neben zahlreichen Anwendungen in der Mathematik ist die Leermenge als Begriffsmenge in der [[logik:hauptseite|Logik]] wichtig. Insbesondere aufgrund der Eigenschaft, dass //Allaussagen// über die Leer­menge immer (notwendig) //wahr// sind.

==== Eigenschaften ====
=== Leersumme ===

Die [[wpde>Leere Summe|Mengen­summe der Leer­menge]] ist de­fi­niert als ''0'', also dem //neu­tralen Wert// der [[wpde>Addition|Addi­tion]].

=== Leerprodukt ===

Das [[wpde>Leeres Produkt|Mengen­produkt der Leer­menge]] ist de­fi­niert als ''1'', also dem //neu­tralen Wert// der [[wpde>Multiplikation|Mul­ti­pli­kation]].


=== Allaussagen ===

Jede [[begriffe:allsatz|All­aussage]] über die Ele­mente der Leer­menge ist immer (not­wendig) //wahr// ([[begriffe:tautologie|tau­to­log­isch]]). Dies gilt ganz ein­fach, weil es keine Fälle geben kann, bei denen sie //falsch// sein könnte. Es handelt sich hierbei um eine „[[begriffe:leere_wahrheit|leere Wahr­heit]]“.

=== Existenzaussagen ===

Jeder [[begriffe:existenzsatz|Existenzs­atz]], der sich auf eine Leer­menge be­zieht ist (not­wendig) //falsch// ([[begriffe:kontradiktion|kon­tra­dik­tor­isch]]). Dies gilt un­ab­hängig von der For­mu­lier­ung einer solchen Aus­sage und er­gibt sich alleine schon aus der //Ex­is­tenz­vor­aus­setz­ung// dieser Aus­sagen­form.

Aus diesem Grund muss beim Schluss von einem All- auf einen Ex­is­tenzs­atz stets zuerst aus­ge­schlossen werden, dass dieser sich nicht auf eine Leer­menge bezieht (<span maniculus "gehe zu:">⁠[[logik:fehlannahmen:leere_begriffsmenge|Feh­ler der leeren Be­griffs­menge]]</span>).

=== Weitere Eigenschaften ===

Für weitere Eigen­schaften der Leer­menge, siehe den Wiki­pedia-Artikel: [[wpde>Leere Menge]].

===== Symbole =====

Die gebräuchlichsten Symbole für eine Leermenge sind entweder das //Leermengenzeichen// ''∅'' ([[https://unicode-table.com/en/2205/|U+2205]]) oder ein Paar leerer Mengenklammern ''{}''. Seltener sieht man auch ''Ø'', ''𝛷'' oder ''⦰''. Vom Gebrauch von ''0'', ''ε'' oder ''Λ'' wird abgeraten, da diese auch andere Bedeutungen haben, was zu Misverständnissen führen kann.

===== Siehe auch =====

  * [[logik:fehlannahmen:leere_begriffsmenge|Fehler der leeren Begriffsmenge]]

===== Weitere Informationen =====

  * [[wpde>Leere Menge]] auf //Wikipedia//