====== Kommutativgesetz ======

Das //Kommutativgesetz// beschreibt die Eigenschaft //bestimmter// mathematischer oder logischer Operationen, dass deren Argumente vertauscht werden können – bzw. dass dies für andere Operationen //nicht// zulässig ist.

Zum Beispiel ist die [[wpde>Addition|Addition]] kommutativ, daher kann man schließen:  

> ''<var>a</var> + <var>b</var>'' = ''<var>b</var> + <var>a</var>''

Umgekehrt ist die [[wpde>Subtraktion|Subtraktion]] //nicht// kommutativ((Um genau zu sein ist die Subtraktion //antikommutativ//, da gilt: ''<var>a</var> - <var>b</var>'' = ''-(<var>b</var> - <var>a</var>)''.)), daher ist der folgende Schluss nicht möglich:

> ''<var>a</var> - <var>b</var>'' <s invalid short "ungültige Operation!">=</s> ''<var>b</var> - <var>a</var>''

===== Andere Namen =====

  * Vertauschungsgesetz
===== Beschreibung =====
==== Mathematik ====

Die meisten Leser dürften das //Kommutativgesetz// aus der Mathematik kennen. Insbesondere die  Regel, dass die folgenden beiden Operationen //kommutativ// sind:

> <dl compact><dt>Addition:</dt><dd>''<var>a</var> + <var>b</var>'' = ''<var>b</var> + <var>a</var>''</dd>
<dt>Multiplikation:</dt><dd>''<var>a</var> ⋅ <var>b</var>'' = ''<var>b</var> ⋅ <var>a</var>''</dd></dl>

Dagegen sind unter anderem die folgenden mathematischen Operationen //nicht// kommutativ((In diesem Kontext zeigt das rot durchgestrichene Gleichheitszeichen (''<s invalid short "ungültige Operation!">=</s>'') an, dass diese Operation //nicht gültig// ist. Dies ist nicht dasselbe wie die mathematische Ungleichheit (dargestellt durch ''≠''), welche anzeigen würde, dass die beiden Operationen unter allen Umständen unterschiedliche Ergebnisse haben. Auch eine ungültige Operation kann aber zu einem gültigen Ergebnis kommen, so ist zum Beispiel <span "zwei hoch vier ist gleich vier hoch zwei">''2⁴ = 4²''</span>. \\ Diese Bedeutung ähnelt der des Symbols „''<span "ist nicht logisch äquivalent zu">≢</span>''“ („nicht [[begriffe/logische_aequivalenz|logisch äquivalent]] zu“) aus der Logik (siehe im nächsten Abschnitt). Um deutlich zu machen, dass es sich dennoch um eine mathematische und keine logische Operation handelt, wurde hier die (etwas ungewöhnliche) Typographie anstelle des logischen Symboles gewählt.))

> <dl compact><dt>Subtraktion:</dt><dd>''<var>a</var> - <var>b</var>'' <s invalid short "ungültige Operation!">=</s> ''<var>b</var> - <var>a</var>''</dd>
<dt>Division:</dt><dd>''<var>a</var> ÷ <var>b</var>'' <s invalid short "ungültige Operation!">=</s> ''<var>b</var> ÷ <var>a</var>''</dd>
<dt>Modulo:</dt><dd>''<var>a</var> mod <var>b</var>'' <s invalid short "ungültige Operation!">=</s> ''<var>b</var> mod <var>a</var>''</dd>
<dt>Potenz:</dt><dd>''<var>a</var><var>ᵇ</var>'' <s invalid short "ungültige Operation!">=</s> ''<var>b</var>ᵃ''</dd></dl>

Dabei sollte man beachten, dass es, wie bei allen Gesetzen, Einschränkungen und Ausnahmen gibt. So können ''a'' und ''b'' auch bei der Subtraktion oder Division vertauscht werden, wenn gilt, dass ''a = b''. Dies ist so naheliegend, dass es im Rahmen der Mathematik gewöhnlich nicht weiter erwähnt wird. Genau dies kann aber interessant werden, wenn wir auf logische Operatoren schauen:

==== Logik ====

Genauso wie in der Mathematik gibt es auch in der Logik //kommutative// Operationen, etwa die folgenden:

> <dl compact><dt>[[begriffe:adjunktion|Adjunktion]]:</dt><dd><span "„A oder B, oder beides“ ist logisch äquivalent zu „B oder A, oder beides“">''<var>A</var> ∨ <var>B</var>'' ≡ ''<var>B</var> ∨ <var>A</var>''</span> \\ <small>(„A oder B, oder beides“ //ist logisch äquivalent zu// „B oder A, oder beides“)</small></dd>
<dt>[[begriffe:kontravalenz|Kontravalenz]]:</dt><dd><span "„entweder A oder B, aber nicht beides“ ist logisch äquivalent zu „entweder B oder A, aber nicht beides“">''<var>A</var> ∨ <var>B</var>'' ≡ ''<var>B</var> ∨ <var>A</var>''</span> \\ <small>(„entweder A oder B, aber nicht beides“ //ist logisch äquivalent zu// „entweder B oder A, aber nicht beides“)</small></dd>
<dt>[[begriffe:konjunktion|Konjunktion]]:</dt><dd><span "„A und B“ ist logisch äquivalent zu „B und A“">''<var>A</var> ∧ <var>B</var>'' ≡ ''<var>B</var> ∧ <var>A</var>''</span> \\ <small>(„A und B“ //ist logisch äquivalent zu// „B und A“)</small></dd>
<dt>[[begriffe:bikonditional|Bikonditional]]:</dt><dd><span "„A genau dann, wenn B“ ist logisch äquivalent zu „B genau dann, wenn A“">''<var>A</var> ⟷ <var>B</var>'' ≡ ''<var>B</var> ⟷ <var>A</var>''</span> \\ <small>(„A genau dann, wenn B“ //ist logisch äquivalent zu// „B genau dann, wenn A“)</small></dd></dl>

Dagegen sind andere logische Operationen ausdrücklich //__nicht__ kommutativ//; für uns interessant ist insbesondere die folgende:

> <dl compact><dt>[[begriffe:konditional|Konditional]]:</dt><dd><span "„wenn A, dann B“ ist nicht logisch äquivalent zu „wennn B, dann A“">''<var>A</var> ⟶ <var>B</var>'' <span "ist nicht logisch äquivalent zu">≢</span> ''<var>B</var> ⟶ <var>A</var>''</span> \\ <small>(„wenn A, dann B“ //ist __nicht__ logisch äquivalent zu// „wennn B, dann A“)</small></dd></dl>

Eine andere Perspektive auf die Unterscheidung zwischen [[begriffe:konditional|Konditional]] und [[begriffe:bikonditional|Bikonditional]] ist, dass letztere zwei gleichwertige („äquivalente“) Argumente hat, und dass deswegen die Kommutation dieser Argumente möglich ist. Damit ist das //Bikonditional// ein Sonderfall des //Konditional//, welches anwendbar ist, wenn <span "A ist äquivalent zu B">''A ≡ B''</span> ist.

Wird ein Konditional auf solche ungültige Weise umgekehrt, wird damit der Fehler der [[logik:fehlschluesse:affirmation_der_konsequenz|Affirmation der Konsequenz]] begangen. Siehe hierzu auch: <span maniculus "für weitere Informationen, siehe auch:">[[paralogismen:umkehrungsirrtum|Umkehrungsirrtum]]</span>.

===== Siehe auch =====

  * [[logik:fehlschluesse:affirmation_der_konsequenz|Affirmation der Konsequenz]]
  * [[paralogismen:umkehrungsirrtum|Umkehrungsirrtum]]

===== Weitere Informationen =====

  * [[wpde>Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]]

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