====== Hempels Paradox ====== Ein scheinbares Paradox der [[wpde>Erkenntnistheorie|Erkenntnistheorie]], welches die Frage aufwirft, unter welchen Bedingungen Beobachtungen eine allgemeine Hypothese eigentlich bestätigen. Im Rahmen der Themen dieser Website ist dieses Paradox darüber hinaus interessant, da es auch ein Problem der Äquivalenz von logischen Aussageformen aufzeigt, welches ansonsten nur schwer zu greifen wäre. ===== Andere Namen ===== * Rabenparadox ===== Beschreibung ===== Das ursprünglich von [[wpde>Carl Gustav Hempel|Carl Gustav Hempel]] in den 1940er Jahren formulierte Paradox geht zunächst von der folgenden, auf den ersten Blick harmlosen Aussage aus: > Alle Raben sind schwarz. (''A ⟶ B'') Es handelt sich hierbei um einen [[allsatz|positiven Allsatz]], oder je nach Sichtweise, um eine [[begriffe:konditional|positive Konditionalaussage]]. Zunächst interessiert uns aber weniger die logische Form, sondern vielmehr die Frage, wie wir erkennen können, ob diese Aussage //wahr// ist, also aufgrund welcher Informationen wir bestätigen können, dass tatsächlich //alle// Raben schwarz sind. Ideal wäre es natürlich, wenn wir einfach //alle// Raben einsammeln könnten, um zu schauen, ob sie denn wirklich //alle// schwarz sind. Das ist aber schon bei wild lebenden Vögeln zumindest //sehr schwierig//, bei vielen anderen Dingen, auf die sich solche Aussagen beziehen können, kann es auch völlig //unmöglich// sein. Wir brauchen also einen anderen Ansatz. Schauen wir uns stattdessen einfach nur Raben an, denen wir mehr oder weniger zufällig begegnen: Je mehr //schwarze// Vögel wir dabei zu zu sehen bekommen, desto wahrscheinlicher wird es, dass die Allaussage tatsächlich //wahr// ist. Umgekehrt reicht aber schon //ein einziges// nicht-schwarzes Individuum aus, um die Aussage zu widerlegen. Sollte ein solches Tier existieren, wäre die Allaussage widerlegt und damit //falsch//. Mit anderen Worten: Jeder schwarze Rabe, den wir beobachten können, stärkt die Hypothese, dass die Aussage "Alle Raben sind schwarz" tatsächlich //wahr// ist. Als **zweiten Schritt** nehmen wir nun die obige Aussage und formen sie mittels einer [[logik:schlussformen:kontraposition|Kontraposition]], bzw. eines [[logik:schlussformen:modus_tollens|Modus Tollens]] in eine äquivalente //negative// Aussage um: > Wenn etwas //nicht// schwarz ist, dann ist es //kein// Rabe. (''⌐B ⟶ ⌐A'') Diese Umformung ist //gültig// und die beiden Aussagen sind auch tatsächlich [[begriffe:logische_aequivalenz|logisch äquivalent]], d.h., beide Aussagen haben unter allen Umständen denselben //Wahrheitswert//. Hempel argumentiert nun, dass sich daraus ergibt, dass auch jede Beobachtung von //nicht-schwarzen Nicht-Raben// -- also zum Beispiel ein //gelbes Postauto// oder eine //blaue Vase// -- die originale Aussage stützen müsse, dass alle Raben schwarz seien. Das werden die meisten sicher erst einmal zurückweisen und die Sichtung von "Nicht-Raben" intuitiv als //nicht relevant// für die Frage ansehen, ob tatsächlich //alle Raben// schwarz seien. Aus Sicht der Logik ist es aber zunächst einmal korrekt: Wenn beide Aussagen //logisch äquivalent// sind, müssen die Schlüsse, die daraus gezogen werden können, auch dieselben sein. ==== Bayesianische Erwiderung ==== Eine bekannte Erwiderung auf Hempels Paradox zielt darauf ab, dass die beiden Aussagen zwar //logisch äquivalent// sind, sich aber auf unterschiedliche Gesamtheiten beziehen, wodurch die Stichprobengröße relevant wird. Anders gesagt, man kann zugestehen, dass die Sichtung von //nicht-schwarzen Nicht-Raben// die Aussage "Alle Raben sind schwarz" zwar in der Tat unterstützt, aber aufgrund der immens größeren Menge von Nicht-Raben im Universum gegenüber einer überschaubaren Zahl von Raben, ist diese Unterstützung //infinitesimal klein,// sodass die Relevanz einer solchen Sichtung in der Tat praktisch keine Relevanz hat. Diese Erwiderung löst das Problem nicht vollständig – man kann sich leicht Aussagen vorstellen, bei denen sich eine Negation tatsächlich eine //kleinere// Gesamtmenge bezieht, etwa: "Alle Atome sind klein" – aber sie weist darauf hin, dass die beiden Aussageformen auch wenn sie formell //logisch äquivalent// sind, dennoch unterschiedliche Eigenschaften haben können, die in bestimmten Situationen relevant werden können. ===== Anwendbarkeit der Logik ===== Auch wenn verschiedene logische Aussageformen voneinander abgeleitet werden können – nicht nur, aber ganz besonders, wenn sie wie in //Hempels Paradox// sogar vollkommen logisch äquivalent sind – gibt es doch immer wieder Unterschiede. Werden diese ignoriert, kann es zu unerwarteten Ergebnissen kommen. Einige der unterschiedlichen Eigenschaften von Aussageformen, insbesondere von [[begriffe:kategorische_aussage|kategorischen Aussagen]], sind in der Logik gut dokumentiert. Dazu zählt beispielsweise, ob Begriffe [[verteilung|verteilt]] sind, oder ob eine Aussageform [[existenzeinfuehrung|Existenz]] impliziert. Andere Aspekte ergeben sich dagegen erst aus der spezifischen Anwendung. Das spezifische logische Problem hier besteht im Unterschied zwischen den Erkenntnissen, die sich aus //negativen// und //positiven// Allsätzen ableiten lassen. Dieser Unterschied klingt zwar in mehreren bekannten logischen Fehlschlüssen auch schon an (siehe zum Beispiel den [[logik:syllogismenfehler:fehler_der_exklusiven_praemissen|Fehler der exklusiven Prämissen]]), er ist aber bei weitem nicht so formalisiert wie etwa die Aspekte //Verteilung// und //Existenzimplikation//. Ein weiterer wichtiger Aspekt, den man leicht übersieht: Tatsächlich sind //nicht// alle Raben schwarz! Neben selten auftretenden [[wpde>Albinismus|Albinoformen]] gibt es auch Exemplare, die aus verschiedenen Gründen ein eher graues oder rötlich-braunes Federkleid haben. Diese Ausnahmen mögen selten sein, aber wenn wir tatsächlich eine //strikte// Auslegung der Logik anwenden wollen, dann genügt auch schon ein einziges Gegenbeispiel um die Allaussage zu widerlegen((Noch komplizierter wird es, wenn wir "Raben" nicht spezifisch auf die Art Corvus corax ([[wpde>Kolkrabe|Kolkraben]]) beziehen, sondern auf die Familie der [[wpde>Rabenvögel|Rabenvögel]] im Allgemeinen. Einige der Mitglieder der Rabenfamilie -- etwa der [[wpde>Eichelhäher|Eichelhäher]] -- haben sogar ein ausgesprochen farbenfrohes Federkleid!)). Wir sehen aber auch schon in gut dokumentierten Logikfehlern (siehe z.B. den [[logik:induktionsfehler:eliminative_induktion|Fehler der eliminativen Induktion]]), dass logische Methoden, die innerhalb von formalen Systemen gut funktionieren, an der Komplexität der Realität scheitern können, wenn sie unkritisch darauf übertragen werden. Es ist gut denkbar, dass Hempel hier "nur" ein gutes Beispiel für eine ähnliche Problematik gefunden hat. Es wäre also zumindest überlegenswert, ob eine allzu strikte Anwendung der Logik in solchen Fällen wirklich der richtige Ansatz ist. Zumindest in realen Situationen -- also außerhalb von Gedankenexperimenten -- sollte man einen pragmatischen Ansatz wählen und bereits bei der Ausgangsaussage der Komplexität der Situation gerecht werden. Eine Formulierung wie: "Kolkraben sind //typischerweise// schwarz" beschriebe in diesem spezifischen Fall nicht nur die Realität besser, sondern vermeidet auch die Versuchung, Methoden der Aussagenlogik außerhalb ihres Anwendungsbereiches anzuwenden, wo sie zu unerwarteten (und womöglich unrealistischen) Ergebnissen führen können. ===== Siehe auch ===== * [[logik:induktionsfehler:eliminative_induktion|Fehler der eliminativen Induktion]] -- fehlerhafte Anwendung einer Induktionsmethode * [[logik:syllogismenfehler:fehler_der_exklusiven_praemissen|Fehler der exklusiven Prämissen]] -- formeller Fehler in der syllogistischen Logik * [[begriffe:leere_wahrheit|Leere Wahrheit]] -- logisch wahre Aussage, die aber keine Aussagekraft besitzt ===== Weitere Informationen ===== * [[wpde>Hempels Paradox|Hempels Paradox]] auf //Wikipedia// * [[stanford>hempel#ParaConf|Carl Hempel § The Paradox of Confirmation]] auf Stanford Encyclopedia of Philosophy (Englisch)