====== Existenzsatz ====== Eine Form von [[begriffe:kategorische_aussage|kategorischer Aussage]], welche die Existenz eines Elementes in einer Menge mit bestimmten Eigenschaften beschreibt. Zum Beispiel: > Es existieren Hunde, die genau drei Beine haben. Ein //negativer// Existenzsatz sagt aus, dass es Objekte gibt, auf welche die Beschreibung //nicht// zutrifft. Zum Beispiel: > Es existieren Hunde, die //nicht// genau drei Beine haben. ===== Andere Namen ===== * Existenzaussage * Partikuläraussage * [[en>glossary/existential_quantification|Existential quantification]] ===== Beschreibung ===== Ein //positiver// Existenzsatz ist eine [[begriffe:aussage|Aussage]], die für wenigstens ein Element einer Gesamtmenge wahr ist. > //Einige// S //sind// P. Oder als Formel dargestellt: > ''∃ 𝑠 ∈ 𝕊 : P'' > (es existiert [mindestens] ein //s// in der Menge 𝕊, für welches P gilt) Ein //negativer// Existenzsatz beschreibt den Fall, dass das Merkmal nicht zutrifft: > ''∃ 𝑠 ∈ 𝕊 : ¬P'' > (es existiert [mindestens] ein //s// in der Menge 𝕊, für welches //nicht//-P gilt) ==== Andere Umschreibungen ==== Existenzsätze können auf verschiedene Arten umschrieben werden, die aus logischer Sicht alle gleichwertig sind, jedoch jeweils unterschiedliche Aspekte solcher Aussagen in den Vordergrund rücken: * „Es existieren S, die P [sind].“ * „Es existiert mindestens ein S, welches P [ist].“ * „Einige S sind P.“ Dazu gehören auch Sätze, die auf den ersten Blick wie //Allsätze// aussehen können: * „Nicht alle S sind P” = „Einige S sind nicht P.“ Diese unterschiedlichen Formulierungen werden hier auf dieser Site je nach Kontext unterschiedslos verwendet. === Ungeeignete Umschreibungen === Die folgende Umschreibung sollte vermieden werden, da sie mehrdeutig ist und sowohl als Existenz-, als auch als Allsatz verstanden werden kann: * „[[mehrdeutigkeit:syntaktische_ambiguitaet:generische_verallgemeinerung|S sind P]]“ ==== Existenzvoraussetzung ==== Anders als beim [[begriffe:allsatz|All­satz]] gilt bei //Existenz­sätzen// die Vor­aus­setz­ung, dass die Begriffs­menge //nicht leer sein darf//. Dieser Umstand //kann// ver­deut­licht werden, indem eine Um­schreib­ung wie: „//es exis­tieren// S, //welche// P“ ver­wendet wird. Die Vor­aus­setz­ung besteht aber in jedem Fall, un­ab­hängig von der Um­schreibung. Im Prinzip gilt, dass sich sowohl bei posi­tiven wie auch bei nega­tiven Exis­tenz­sätzen nur das //Sub­jekt// auf eine nicht-leere Menge be­ziehen muss. Aller­dings ergibt sich aus der posi­tiven Form („es exis­tieren S, die P sind“), dass auch das Prä­di­kat nicht //leer// sein kann. Bei nega­tiven Ex­is­tenz­sätzen ist dies nicht der Fall. In beiden Fällen führt dies dazu, dass bei der Ab­leit­ung von Exis­tenz- aus All­sätzen zu­nächst be­wiesen werden muss, dass es //wenigs­tens ein// Element der Be­griffs­menge gibt. Solche Neben­be­ding­ungen sind z.B. bei einigen Syl­log­ismen wie dem [[logik:schlussformen:modus_barbara:modus_barbari|Modus Bar­bari]]  [[app>#barbari|Modus Barbari in Syllogism-Finder App anzeigen]] oder [[logik:schlussformen:modus_darii:modus_darapti|Da­rap­ti]]  [[app>#darapti|Modus Darapti in Syllogism-Finder App anzeigen]] nötig. ==== Verteilung ==== In //positiven// //Exis­tenz­sätzen// sind weder Sub­jekt noch Prä­di­kat [[begriffe:verteilung|ver­teilt]], d.h. sie können grund­sätz­lich nicht auf eine Unter­menge der jeweiligen Be­griffs­menge an­gewandt werden. Bei //negativen Exis­tenz­sätzen// ist das Prädikat //verteilt//. ==== Verifizierung und Falsifizierung ==== Um einen Existenz­satz zu //veri­fi­zieren//, ge­nügt es, ein //ein­ziges// Bei­spiel zu finden, auf welches die Aus­sage zu­trifft. Um also die Exis­tenz von //drei­bein­igen Hunden// zu be­weisen, ge­nügt es, einen //ein­zigen// da­von zu finden. Eben­so ge­nügt es einen ein­zigen //nicht//-drei­bein­igen zu finden, um den entsprechenden //nega­tiven// Exis­tenz­satz zu belegen. Zur //Falsi­fi­zier­ung// da­gegen müs­ste man, um zu be­legen, dass die Aus­sage nie zu­trifft, im schlimmsten Fall jedes ein­zelne Ele­ment der Be­griffs­menge unter­suchen. Dies kann, je nach Gegen­stand der Aus­sage schwierig bis un­mög­lich sein. Im besten Fall hat man eine über­schaubare Be­griffs­menge, bei der nur eine be­grenzte Zahl von Ele­menten zu be­trachten ist. Zum Bei­spiel könnte eine Aus­sage wie: „wenigs­tens eines meiner Kinder hat rote Haare“ leicht wider­legt (oder veri­fi­ziert) werden, wenn diese alle be­kannt sind. Ein Sonderfall hiervon ist die [[begriffe:leermenge|leere Be­griffs­menge]], also wenn die Zahl der Ele­mente, auf wel­che sich die Aus­sage be­zieht gleich ''0'' ist. In diesem Fall kann ein //Exis­tenz­satz// schon grund­sätz­lich nicht //wahr// sein. ===== Bezeichner ===== Sowohl in der [[logik:hauptseite|Logik]] als auch in der [[mathematik:hauptseite|Mathematik]] wird gewöhnlich das Symbol ''∃'' für Existenzaussagen benutzt. Dies wird ausgesprochen als „es existiert …“. Zum Beispiel: > ''∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² = 25'' > (es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist gleich 25) Beim negativen Existenzsatz benutzt man entweder ein ''¬'' oder ein anderes Symbol, welches Negation oder Ungleichheit ausdrückt, z.B.: > ''∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² ≠ 11'' > (es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist //nicht// gleich 11) In manchen Kontexten wird auch das Symbol ''∄'' für negative Existenzsätze gebraucht. Hiervon wird hier abgeraten, da dieses Zeichen auch für negative [[begriffe:allsatz|Allsätze]] benutzt wird. ===== Siehe auch ===== * [[begriffe:allsatz|Allsatz]] * [[wissen:anekdoten:hauptseite|Anekdotenargument]] * [[begriffe:kategorische_aussage|Kategorische Aussage]] * [[logik:fehlannahmen:leere_begriffsmenge|Leere Begriffsmenge]] ===== Weitere Informationen ===== * [[wpde>Existenzaussage]] auf //Wikipedia// {{page>templates:banner#Short-BG-Logic&noheader&nofooter}}