====== Existenzsatz ======
Eine Form von [[begriffe:kategorische_aussage|kategorischer Aussage]], welche die Existenz eines Elementes in einer Menge mit bestimmten Eigenschaften beschreibt.
Zum Beispiel:
> Es existieren Hunde, die genau drei Beine haben.
Ein //negativer// Existenzsatz sagt aus, dass es Objekte gibt, auf welche die Beschreibung //nicht// zutrifft.
Zum Beispiel:
> Es existieren Hunde, die //nicht// genau drei Beine haben.
===== Andere Namen =====
* Existenzaussage
* Partikuläraussage
* [[en>glossary/existential_quantification|Existential quantification]]
===== Beschreibung =====
Ein //positiver// Existenzsatz ist eine [[begriffe:aussage|Aussage]], die für wenigstens ein Element einer Gesamtmenge wahr ist.
> //Einige// S //sind// P.
Oder als Formel dargestellt:
> ''∃ 𝑠 ∈ 𝕊 : P''
> (es existiert [mindestens] ein //s// in der Menge 𝕊, für welches P gilt)
Ein //negativer// Existenzsatz beschreibt den Fall, dass das Merkmal nicht zutrifft:
> ''∃ 𝑠 ∈ 𝕊 : ¬P''
> (es existiert [mindestens] ein //s// in der Menge 𝕊, für welches //nicht//-P gilt)
==== Andere Umschreibungen ====
Existenzsätze können auf verschiedene Arten umschrieben werden, die aus logischer Sicht alle gleichwertig sind, jedoch jeweils unterschiedliche Aspekte solcher Aussagen in den Vordergrund rücken:
* „Es existieren S, die P [sind].“
* „Es existiert mindestens ein S, welches P [ist].“
* „Einige S sind P.“
Dazu gehören auch Sätze, die auf den ersten Blick wie //Allsätze// aussehen können:
* „Nicht alle S sind P” = „Einige S sind nicht P.“
Diese unterschiedlichen Formulierungen werden hier auf dieser Site je nach Kontext unterschiedslos verwendet.
=== Ungeeignete Umschreibungen ===
Die folgende Umschreibung sollte vermieden werden, da sie mehrdeutig ist und sowohl als Existenz-, als auch als Allsatz verstanden werden kann:
* „[[mehrdeutigkeit:syntaktische_ambiguitaet:generische_verallgemeinerung|S sind P]]“
==== Existenzvoraussetzung ====
Anders als beim [[begriffe:allsatz|Allsatz]] gilt bei //Existenzsätzen// die Voraussetzung, dass die Begriffsmenge //nicht leer sein darf//.
Dieser Umstand //kann// verdeutlicht werden, indem eine Umschreibung wie: „//es existieren// S, //welche// P“ verwendet wird. Die Voraussetzung besteht aber in jedem Fall, unabhängig von der Umschreibung.
Im Prinzip gilt, dass sich sowohl bei positiven wie auch bei negativen Existenzsätzen nur das //Subjekt// auf eine nicht-leere Menge beziehen muss. Allerdings ergibt sich aus der positiven Form („es existieren S, die P sind“), dass auch das Prädikat nicht //leer// sein kann. Bei negativen Existenzsätzen ist dies nicht der Fall.
In beiden Fällen führt dies dazu, dass bei der Ableitung von Existenz- aus Allsätzen zunächst bewiesen werden muss, dass es //wenigstens ein// Element der Begriffsmenge gibt. Solche Nebenbedingungen sind z.B. bei einigen Syllogismen wie dem [[logik:schlussformen:modus_barbara:modus_barbari|Modus Barbari]] [[app>#barbari|Modus Barbari in Syllogism-Finder App anzeigen]] oder [[logik:schlussformen:modus_darii:modus_darapti|Darapti]] [[app>#darapti|Modus Darapti in Syllogism-Finder App anzeigen]] nötig.
==== Verteilung ====
In //positiven// //Existenzsätzen// sind weder Subjekt noch Prädikat [[begriffe:verteilung|verteilt]], d.h. sie können grundsätzlich nicht auf eine Untermenge der jeweiligen Begriffsmenge angewandt werden.
Bei //negativen Existenzsätzen// ist das Prädikat //verteilt//.
==== Verifizierung und Falsifizierung ====
Um einen Existenzsatz zu //verifizieren//, genügt es, ein //einziges// Beispiel zu finden, auf welches die Aussage zutrifft.
Um also die Existenz von //dreibeinigen Hunden// zu beweisen, genügt es, einen //einzigen// davon zu finden. Ebenso genügt es einen einzigen //nicht//-dreibeinigen zu finden, um den entsprechenden //negativen// Existenzsatz zu belegen.
Zur //Falsifizierung// dagegen müsste man, um zu belegen, dass die Aussage nie zutrifft, im schlimmsten Fall jedes einzelne Element der Begriffsmenge untersuchen. Dies kann, je nach Gegenstand der Aussage schwierig bis unmöglich sein.
Im besten Fall hat man eine überschaubare Begriffsmenge, bei der nur eine begrenzte Zahl von Elementen zu betrachten ist. Zum Beispiel könnte eine Aussage wie: „wenigstens eines meiner Kinder hat rote Haare“ leicht widerlegt (oder verifiziert) werden, wenn diese alle bekannt sind.
Ein Sonderfall hiervon ist die [[begriffe:leermenge|leere Begriffsmenge]], also wenn die Zahl der Elemente, auf welche sich die Aussage bezieht gleich ''0'' ist. In diesem Fall kann ein //Existenzsatz// schon grundsätzlich nicht //wahr// sein.
===== Bezeichner =====
Sowohl in der [[logik:hauptseite|Logik]] als auch in der [[mathematik:hauptseite|Mathematik]] wird gewöhnlich das Symbol ''∃'' für Existenzaussagen benutzt. Dies wird ausgesprochen als „es existiert …“. Zum Beispiel:
> ''∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² = 25''
> (es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist gleich 25)
Beim negativen Existenzsatz benutzt man entweder ein ''¬'' oder ein anderes Symbol, welches Negation oder Ungleichheit ausdrückt, z.B.:
> ''∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² ≠ 11''
> (es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist //nicht// gleich 11)
In manchen Kontexten wird auch das Symbol ''∄'' für negative Existenzsätze gebraucht. Hiervon wird hier abgeraten, da dieses Zeichen auch für negative [[begriffe:allsatz|Allsätze]] benutzt wird.
===== Siehe auch =====
* [[begriffe:allsatz|Allsatz]]
* [[wissen:anekdoten:hauptseite|Anekdotenargument]]
* [[begriffe:kategorische_aussage|Kategorische Aussage]]
* [[logik:fehlannahmen:leere_begriffsmenge|Leere Begriffsmenge]]
===== Weitere Informationen =====
* [[wpde>Existenzaussage]] auf //Wikipedia//
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