====== Bikonditional ======

Eine zusammen­gesetzte logische [[begriffe:aussage|Aus­sage]], welche genau dann wahr ist, wenn beide Seiten den­selben Wahrheits­wert haben.

Beispiele für bikonditionale Aussagen:

> Eine Zahl ist gerade //genau dann, wenn// sie ohne Rest durch zwei teilbar ist.

> Die Menge der Zahlen, die durch zwei teilbar sind //ist äquivalent zur// Menge der geraden Zahlen.

Die beiden Formulierungen „genau dann, wenn“ und „ist äquivalent zu“ sind aus logischer Sicht austauschbar (mit anderen Worten: sie sind //äquivalent//).

===== Andere Namen =====

  * (Materiale) Äquivalenz
  * Bisubjunktion

===== Beschreibung =====

Ein //Bikonditional// ist wahr wenn //beide// Teilaussagen //äquivalent// sind.
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{{ begriffe:bikonditional.svg|Bikonditional Venn-Diagramm}}
<figcaption centered>Venn-Diagramm: Bikonditional ''A ⟷ B''</figcaption>
</figure>
</aside>

^ A ^ B ^ <span "A ist äquivalent zu B">A ⟷ B</span> ^
| wahr | wahr | wahr |
| wahr | falsch | falsch |
| falsch | wahr | falsch |
| falsch | falsch | wahr |

Dies ist ein Sonder­fall des [[begriffe:konditional|Konditional]] (die auch „Subjunktion“ genannt wird): Für jede wahre bik­onditionale Aussage <span "A genau dann, wenn B">''A ↔ B''</span> gilt, dass auch die beiden //Konditionale// <span "Wenn A, dann B">''A → B''</span>, sowie <span "Wenn B, dann A">''B → A''</span> //wahr// sein müssen.

Es gilt, dass:

> <span "wenn A, dann B">''A ⟶ B''</span>           (//Wenn// A, //dann// B)
> <span "und">''∧''</span> <span "wenn B, dann A">''B ⟶ A''</span>     (und, //wenn// B, //dann// A)
> <span conclusio><span "Daraus folgt">''∴''</span> <span "A genau dann, wenn B">''A ⟷ B''</span></span>     (dann folgt daraus: B //genau dann, wenn// A)

Das //Bikondional// ist damit logisch das genaue Gegenteil der [[begriffe:kontravalenz|Kontravalenz]].

===== Logisches Symbol =====

Auf dieser Site wird als Symbol für das Bikonditional das doppelte Pfeilsymbol, entweder mit einfachem (''↔''/''⟷'') oder dop­peltem Strich (''⇔''/''⟺'') verwendet. Letzteres wird insbesondere verwendet, um eine //sekundäre// Verbindung zu kennzeichnen. Es ersetzt damit Klammersymbole, welche v.a. längere Formeln schwerer lesbar machen würden. Die längeren Pfeil­varianten dienen dazu, die Lesbarkeit (z.B. in Formeln) zu verbessern, haben aber dieselbe Bedeutung. In jedem Fall werden alle diese Symbole als „genau dann, wenn“ ausgesprochen.

In anderen Publikationen kann man u.a. auch <span invalid short "nicht empfehlenswert, da mehrdeutig">''=''</span> oder gelegentlich auch die Tilde (<span invalid short "nicht empfehlenswert, da mehrdeutig">''~''</span>) finden, die allerdings auch andere Bedeutungen hat und deswegen besser vermieden werden sollte: Das Identitätszeichen (''≡'') wird zwar eigentlich für die [[begriffe:logische_aequivalenz|logische Äquivalenz]] gebraucht, diese ist aber in vielen Situationen mit dem Bi­konditional identisch. Schließlich findet man immer häufiger das aus der Informatik stammende Kunstwort <span :en "if and only if">''iff''</span> („<i :en>if and only if</i>  “). 

===== Anwendung =====

Das //Bikonditional// ist eine sehr aussagekräftige logische Funktion, was auch heißt, dass es außerhalb von formalen Systemen (wie Mathematik und Logik) nur sehr wenige praktische Anwendungs­fälle gibt, in denen solche Aussagen wirklich gültig wären.

Dies umfasst insbesondere die folgenden Situationen:

=== 1. Tautologische Aussagen ===

Offensichtlich sind bi­konditionale Aussagen immer gültig, wenn //Antezedenz// und //Konsequenz// (''A'' und ''B'') identisch sind (z.B. „Wenn es regnet, regnet es“).

Dasselbe gilt auch, wenn die Tautologie nur //indirekt// besteht, etwa durch die Definitionen der verwendeten Begriffe; solche Aussagen gibt es v.a. in der Mathematik – z.B. aus „wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, ist sie gerade“ lässt sich ableiten, dass „wenn eine Zahl nicht gerade ist, ist sie nicht durch 2 teilbar“, da „gerade“ und „durch 2 teilbar“ der Definition nach synonym verwendbar sind.

Solche Tautologien können über mehrere Zwischenstufen definiert sein, wie das folgende Beispiel zeigt:

> Wenn heute Montag ist, ist übermorgen Mittwoch.

Man kann „Mittwoch“ definieren als „der Tag nach Dienstag“ und diesen wiederum als den „Tag nach Montag“. Damit liegt der Mittwoch definitions­gemäß „zwei Tage nach Montag“. Damit ist die Aussage tautologisch und folglich ist auch die Umkehrung wahr:

> Wenn übermorgen Mittwoch ist, ist heute Montag.

=== 2. Leere Komplementär­menge ===

Auch unabhängig von einer echten Tautologie können A und B identische Mengen beschreiben: In der Mengenlehre lässt sich dies wie folgt beschreiben: <span "Die Differenz der Menge A mit der Menge B ist die Leermenge">''𝔸 ∖ 𝔹 = ∅''</span> (die Differenzmenge von A mit B ist leer).

Zum Beispiel die folgenden Mengen:

> 𝔸 = //Alle Astronauten, die zum Mond geflogen sind.//
> 𝔹 = //Alle Personen, die Gesteinsproben vom Mond geholt haben.//

Auch wenn 𝔸 und 𝔹 nicht //notwendigerweise// dieselbe Menge beschreiben (es ist möglich, zum Mond zu fliegen, ohne Gesteinsproben mitzubringen), ist die Differenzmenge dieser Gruppen die leere Menge((Hinweis: ich vermute, dass diese Gruppen identisch sind, habe dafür aber keine Quelle gefunden. Dies soll daher nur ein (rein theoretisches) Beispiel darstellen. Wer mehr Informationen dazu hat, soll mich bitte kontaktieren.)). Daher ist das //Bikonditional// <span "A ist genau dann, wenn B">''A ↔ B''</span> gültig.

===== Bedeutung =====

Der logische [[logik:fehlschluesse:hauptseite|Fehlschluss]] der [[logik:fehlschluesse:negation_der_antezedenz|Negation der Antezedenz]] beruht auf einer Verwechslung von [[begriffe:konditional|Konditional]] und //Bikonditional//.

===== Siehe auch =====

  * [[begriffe:bijektion|Bijektion]]
  * [[begriffe:konditional|Konditional]]
  * [[logik:fehlschluesse:negation_der_antezedenz|Negation der Antezedenz]]

===== Weitere Informationen =====

  * [[wpde>Bikonditional]] auf //Wikipedia//

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