====== Korrelation ======

Wenn Ereignisse gemein­sam oder nach­ein­ander auf­treten, nennt man das eine //Kor­rela­tion//. Dies //kann//, muss aber nicht be­deuten, dass das eine eine //Folge// des anderen ist.

Eine solche Kor­rela­tion kann ganz ein­fach zwei Er­eig­nisse be­treffen, die zeit­lich nahe bei­ein­ander liegen:

> Die Tür ist zu­ge­schlagen und im nächsten Moment ist ein Bild von der Wand ge­fallen.

Oder es kann sich um Merk­male handeln, deren Aus­präg­ungen zu­ein­ander in einem be­stimmten Ver­hält­nis zu stehen scheinen:

> Je mehr (pro­fes­sion­elle) [[wpde>Heavy Metal|Heavy-Metal]] Bands es pro Ein­wohner in einem Land gibt, desto besser hat dieses Land in den [[wpde>PISA-Studien]] ab­ge­schnitten.

Letzteres kann man als //sta­tis­tische// Kor­rela­tion ver­stehen, da es zwei sta­tis­tische Merk­male be­schreibt, die mit­ein­ander kor­rel­ieren.

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===== Korrelationskoeffizient =====

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Um ein einfach zu ver­steh­endes Maß für die //sta­tis­tische Kor­re­la­tion// zu haben, wurde der [[wiki>begriffe/Korrelationskoeffizient|Kor­rela­tions­koeffi­zient]] als Maß der //linearen// Kor­relat­ion ent­wickelt. Dieser kann Werte zwischen ''-1'' und ''+1'' an­nehmen, wo­bei so­wohl ''-1'', als auch ''+1'' für eine per­fekte (nega­tive oder posi­tive) Kor­rela­tion stehen. Ein Wert von ''0'' dagegen be­deutet, dass //keine// Kor­rela­tion nach­weis­bar ist.

Allerdings gibt es die Ein­schränk­ung, dass mit diesem Maß nur //lineare// Kor­rela­tion er­fasst werden kön­nen; das heißt, dass die beiden Merk­male gleich­mäßig mit­ein­ander steigen bzw. fallen. Es gibt aller­dings auch (seltene) andere Formen, wie zwei Merk­male mit­ein­ander kor­rel­ieren können. Für diese ist dieser Maß­stab nicht ge­eig­net. Siehe die Bei­spiele in der Ab­bild­ung unten.

Ebenso sagt der //Kor­rela­tions­koeffi­zient// nichts darüber aus, wie //steil// Korrelationskurve verläuft. Eine Ausnahme ist der Sonder­fall bei einer genau hori­zon­talen Linie, bei dem wegen einer //Divi­sion durch Null// kein Er­gebnis er­mittelt werden kann.

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Abbild­ung 1 zeigt typi­sche Ko­ef­fi­zi­enten sowie einige der be­kannten Problem­fälle:

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{{ :allgemein:ursache_und_wirkung:correlation_examples.png?nolink |Auswahl von Korrelationskoeffizienten für verschiedene Merkmalsverteilungen }}
<figcaption><strong>Abbildung 1:</strong> verschiedene Ver­teil­ungs­muster mit den dazu ge­hör­igen Kor­rela­tions­ko­ef­fi­zi­enten: Die erste Zeile zeigt typi­sche Zu­falls­ver­teil­ungen; In der zweiten Zeile werden ver­schied­ene Steigungen von hoch kor­re­lierten Ver­teil­ung­en ver­glichen. Man be­achte dass die Ver­teil­ung in der Mitte keinen gült­igen Ko­ef­fi­zi­enz­wert er­gibt. Die letzte Zeile zeigt ver­schied­ene nicht-line­are Kor­re­la­tionen, die vom Kor­re­la­tions­ko­ef­fi­zi­enten nicht er­fasst werden können.</figcaption>
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Trotz dieser Ein­schränk­ungen hat sich der Kor­rela­tions­ko­ef­fi­zi­ent als eine ein­fache Maß­zahl be­währt, da mit dieser eine kom­plexe Frage mit einer ein­fachen, leicht ver­ständ­lichen Nummer be­ant­wortet werden kann.

===== Korrelationsbeziehungen =====

Wenn wir zwei Merkmale – nennen wir sie ''A'' und ''B'' – hoch miteinander korrelieren, gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie diese miteinander verbunden sein können:

  - **Direkter Kausal­zu­sam­men­hang:** 𝚨 verursacht 𝐁. \\ Zum Beispiel: ein [[wpde>Queue (Billard)|Billard-Queue]] stößt eine Kugel an und diese rollt davon. \\  
  - **Indirekter Kausal­zu­sam­men­hang:** 𝚨 verursacht andere Ereignisse: z.B. 𝐂, 𝐃, etc, die wiederum 𝐁 zur Folge haben. \\ Beispiel: Eine Billiardkugel stößt eine andere an, diese wiederum eine Dritte, welche eine weitere anstößt, die in einer der Taschen des Billardtisches landet. \\  
  - **Externer Kausal­zu­sam­menhang:** Ein drittes Ereignis 𝐂 verursacht sowohl 𝚨, als auch 𝐁. \\ Beispiel: Der Verkauf von [[wpde>Speiseeis|Eis-]], als auch der von [[wpde>Sonnenschutzmittel|Sonnen­creme]] korrelieren, über das Jahr beobachtet, miteinander – Ursache ist aber natürlich die stärkere Sonneneinwirkung im Sommer. \\  
  - **Umgekehrter Kausal­zu­sam­men­hang:** 𝚨 wird durch 𝐁 verursacht. \\ Zum Beispiel: Ein Hahn kräht und kurz darauf geht die Sonne auf. \\  
  - **Schein­kor­re­la­tion:** 𝚨 und 𝐁 sind //nicht kausal// ver­bunden, sondern treten nur //zufällig// gemeinsam auf. \\ Beispiel: Die Zahl der in Deutschland gehaltenen Kälber korrelierte von 2005 bis 2012 hoch mit der Zahl der Arbeitnehmer in Imbissstuben im gleichen Zeitraum. \\  
  - **Beobachtungsfehler:** 𝚨 und/oder 𝐁 treten überhaupt nicht in der be­schrieb­enen Form oder Fre­quenz auf. \\ Zum Bei­spiel kor­rel­ieren //Meteor­iten//­sicht­ungen hoch mit der Be­völk­er­ungs­dichte einer Region. Der Grund hierfür ist aber, dass dort die Wahr­schein­lich­keit, dass sie auch //ge­sehen// werden, am größten ist.

Dabei ist es oft er­staun­lich schwer, zu be­stimmen, welche der oben ge­nannten Fälle auf eine be­stimmte Kor­re­la­tion zu­trifft. Ins­be­sondere sind die beiden letzten Fälle sehr viel häufiger, als man viel­leicht glauben möchte:

==== Scheinkorrelation ====

Man spricht von einer „Schein­kor­re­la­tion“, wenn Merk­male mit einer hohen Kor­re­la­tion auf­treten, ob­wohl sie keiner­lei kaus­alen Zu­sam­men­hang haben. Dieser Begriff ist etwas irre­führend, da es nicht die Kor­re­la­tion ist, die nur „schein­bar“ ist, sondern die Kau­sa­lität.

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**Hinweis:** Manchmal wird der Begriff auch noch weiter aus­gelegt, so dass alles, was kein ein­deutiger //direkter// Kau­sal­zu­sam­men­hang ist, unter den Be­griff „Schein­kor­re­la­tion“ fällt. Eine solche Aus­legung ist aber nicht sinn­voll, da //direkte// Kau­sal­zu­sam­men­hänge tat­sächlich //extrem selten// sind – auch bei dem Bei­spiel mit der Bill­ard­kugel könnte man die Zu­sam­men­hänge auf mole­kul­arer, atom­arer oder sogar Quanten-Ebene ana­ly­sieren und käme dann zu einer Kette von //in­di­rekten// Kau­sal­zu­sam­men­hängen.
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FIXME Dieser Abschnitt ist noch in Bearbeitung.

===== Kausalillusion =====

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Im Laufe der Evolution hat sich unser Gehirn so ent­wickelt, dass wir mit­ein­ander kor­rel­ier­ende Er­eig­nisse zu­nächst ein­mal als kausal mit­ein­ander ver­bunden wahr­nehmen. In vielen Fällen ist das ja auch sinn­voll: wenn etwa ein Ei her­unter­fällt und dann zer­bricht, sind diese beiden Er­eig­nisse ver­mut­lich in der Tat kausal mit­ein­ander ver­knüpft.

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In anderen Fällen sind Irr­tümer, die sich aus dieser Heu­ristik er­geben, weniger folgen­schwer als würde man mög­liche Ver­knüpf­ungen ig­nor­ieren: wenn sich in der Ver­gangen­heit ge­zeigt hat, dass ein Rascheln im Busch von einem An­griff durch ein Raub­tier ge­folgt werden kann, ist es sicher sinn­voller, sich bei jedem Rascheln erst einmal in Acht zu nehmen – sollte es sich dann doch um eine harm­losere Ur­sache handeln, ist das sicher weniger schlimm, als trotz der Warn­ung von einem hung­rigen oder ag­gres­siven Tier über­rascht zu werden. 

FIXME **Dieser Artikel ist noch in Bearbeitung.**